المعادلات الرياضية للحجم ومساحة السطح

المواد الصلبة ثلاثية الأبعاد مثل الكرات والمخاريط لها معادلتان أساسيتان لحساب الحجم: الحجم ومساحة السطح. يشير الحجم إلى مقدار المساحة التي يملأها الجسم ويقاس بوحدات ثلاثية الأبعاد مثل البوصات المكعبة أو السنتيمتر المكعب. تشير مساحة السطح إلى المساحة الصافية لوجوه الصلب ويتم قياسها بوحدات ثنائية الأبعاد مثل البوصة المربعة أو السنتيمتر المربع.

المنشور المستطيل هو شكل ثلاثي الأبعاد تكون المقاطع العرضية منه دائمًا مستطيلة. يحتوي المنشور المستطيل على ستة جوانب ، أحدها يُعرف بالقاعدة. تتضمن أمثلة المناشير المستطيلة كتل Lego ومكعبات روبيك. يُعطى حجم المنشور المستطيل في معادلتين: V = (مساحة القاعدة) * (الارتفاع) و V = (الطول) * (العرض) * (الارتفاع). مساحة سطح المنشور المستطيل هي مجموع مساحة أوجهه الستة: مساحة السطح = 2_l_w + 2_w_h + 2_l_h.

الكرة هي التناظرية ثلاثية الأبعاد للدائرة: مجموعة جميع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تكون على مسافة معينة من نقطة مركزية (تسمى هذه المسافة نصف القطر). معادلة حجم الكرة هي V = (4/3) πr ^ 3 ، حيث r هو نصف قطر الكرة. السطح عبارة عن كرة تُعطى بالمعادلة SA = 4πr ^ 2.

الأسطوانة عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من دوائر متوازية متطابقة (علبة الحساء هي أسطوانة حقيقية). يمكن إيجاد حجم الأسطوانة بضرب مساحة دائرة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة ، مما ينتج عنه المعادلة V = πr ^ 2 * h ، حيث r هو نصف القطر و h هو الارتفاع. يمكن إيجاد مساحة سطح الأسطوانة عن طريق إضافة مساحة الدوائر التي تشكل الغطاء وقاعدة الأسطوانة اسطوانة إلى منطقة "التسمية" المستطيلة لجسم الأسطوانة ، والتي يبلغ ارتفاعها h وقاعدتها 2πr عندما يفك ربطة. وبالتالي فإن معادلة مساحة السطح هي 2πr ^ 2 + 2πrh.

المخروط عبارة عن مادة صلبة ثلاثية الأبعاد تتشكل عن طريق تقليص جوانب الأسطوانة لتشكيل نقطة في الأعلى (فكر في مخروط الآيس كريم). ينتج عن انخفاض الحجم الناجم عن هذا التناقص أن المخروط يحتوي على ثلث الحجم بالضبط أسطوانة بنفس الأبعاد ، مما ينتج عنه معادلة حجم المخروط: V = (1/3) πr ^ 2h.

يصعب حساب معادلة مساحة سطح المخروط. يتم الحصول على مساحة قاعدة المخروط من خلال صيغة مساحة الدائرة ، A = πr ^ 2. يشكل جسم المخروط قطاعًا من دائرة عند فكه. تُعطى مساحة هذا القطاع بالصيغة A = πrs ، حيث s هي الارتفاع المائل للمخروط (الطول من نقطة المخروط إلى القاعدة على طول الجانب). وبالتالي فإن معادلة مساحة السطح هي مساحة السطح = πr ^ 2 + πrs.