البندول له خصائص مثيرة للاهتمام يستخدمها علماء الفيزياء لوصف أشياء أخرى. على سبيل المثال ، يتبع مدار الكواكب نمطًا مشابهًا وقد تشعر بالتأرجح على مجموعة أرجوحة وكأنك على بندول. تأتي هذه الخصائص من سلسلة من القوانين التي تحكم حركة البندول. من خلال تعلم هذه القوانين ، يمكنك البدء في فهم بعض المبادئ الأساسية للفيزياء والحركة بشكل عام.
يمكن وصف حركة البندول باستخدام
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
بحيثθيمثل الزاوية بين الخيط والخط العمودي أسفل المركز ،ريمثل الوقت وتيهي الفترة ، الوقت اللازم لحدوث دورة كاملة واحدة من حركة البندول (تقاس بـ1 / و) ، لحركة البندول.
حركة متناغمة بسيطة
حركة متناغمة بسيطة، أو الحركة التي تصف كيفية تأرجح سرعة الجسم بالتناسب مع مقدار الإزاحة من التوازن ، يمكن استخدامها لوصف معادلة البندول. يتم الحفاظ على حركة تأرجح البندول من خلال هذه القوة التي تعمل عليها أثناء تحركه ذهابًا وإيابًا.
•••سيد حسين أثير
أدت القوانين التي تحكم حركة البندول إلى اكتشاف خاصية مهمة. يقسم الفيزيائيون القوى إلى مكون رأسي وأفقي. في حركة البندول ،ثلاث قوى تعمل مباشرة على البندول
: كتلة البوب والجاذبية والتوتر في الخيط. تعمل كل من الكتلة والجاذبية عموديًا لأسفل. نظرًا لأن البندول لا يتحرك لأعلى أو لأسفل ، فإن المكون الرأسي لشد الخيط يلغي الكتلة والجاذبية.هذا يدل على أن كتلة البندول ليس لها علاقة بحركته ، لكن شد الخيط الأفقي له علاقة. تشبه الحركة التوافقية البسيطة الحركة الدائرية. يمكنك وصف كائن يتحرك في مسار دائري كما هو موضح في الشكل أعلاه عن طريق تحديد الزاوية ونصف القطر التي يأخذها في مساره الدائري المقابل. بعد ذلك ، باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم بين مركز الدائرة وموضع الكائن والإزاحة في كلا الاتجاهين x و y ، يمكنك إيجاد المعادلاتس = رسين (θ)وy = rcos (θ).
يتم إعطاء المعادلة أحادية البعد لجسم في حركة توافقية بسيطةس = ص كوس (ωt).يمكنك استبدال المزيدألصبحيثأهلالسعة، الحد الأقصى للإزاحة من الموضع الأولي للجسم.
السرعة الزاويةωفيما يتعلق بالوقترلهذه الزواياθاعطي من قبلθ = ωt. إذا استبدلت المعادلة التي تربط السرعة الزاوية بالترددF, ω = 2π و، يمكنك تخيل هذه الحركة الدائرية ، إذن ، كجزء من تأرجح البندول ذهابًا وإيابًا ، فإن معادلة الحركة التوافقية البسيطة الناتجة هي
س = A \ cos {2 \ pi قدم}
قوانين البندول البسيط
•••سيد حسين أثير
البندولات ، مثل كتل الربيع ، هي أمثلة علىمذبذبات توافقية بسيطة: هناك قوة استعادة تزداد اعتمادًا على مدى إزاحة البندول ، ويمكن وصف حركتها باستخداممعادلة مذبذب توافقي بسيط
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
بحيثθيمثل الزاوية بين الخيط والخط العمودي أسفل المركز ،ريمثل الوقت وتيهلفترة، الوقت اللازم لحدوث دورة كاملة واحدة من حركة البندول (تقاس بـ1 / و) ، لحركة البندول.
θالأعلىهي طريقة أخرى لتحديد الحد الأقصى الذي تتأرجح فيه الزاوية أثناء حركة البندول وهي طريقة أخرى لتحديد سعة البندول. هذه الخطوة موضحة أدناه تحت قسم "تعريف البندول البسيط."
من الآثار الأخرى لقوانين البندول البسيط أن فترة التذبذب ذات الطول الثابت مستقلة عن الحجم والشكل والكتلة والمادة الموجودة في نهاية الخيط. يظهر هذا بوضوح من خلال الاشتقاق البسيط للبندول والمعادلات الناتجة.
الاشتقاق البسيط للبندول
يمكنك تحديد معادلة أالبندول بسيط، التعريف الذي يعتمد على مذبذب توافقي بسيط ، من سلسلة من الخطوات تبدأ بمعادلة الحركة للبندول. نظرًا لأن قوة جاذبية البندول تساوي قوة حركة البندول ، يمكنك جعلها متساوية مع بعضها البعض باستخدام قانون نيوتن الثاني مع كتلة البندولم، طول سلسلةإل، زاويةθ,تسارع الجاذبيةزوالفاصل الزمنير.
•••سيد حسين أثير
لقد جعلت قانون نيوتن الثاني يساوي لحظة القصور الذاتيأنا = السيد2لبعض الكتلةمونصف قطر الحركة الدائرية (طول الخيط في هذه الحالة)صضرب العجلة الزاويةα.
- ΣF = أماه: ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة الكليةΣ F.على جسم تساوي كتلة الجسم مضروبة في التسارع.
- أماه = أنا α: يتيح لك هذا ضبط قوة تسارع الجاذبية (-Mg sin (θ) L)يساوي قوة الدوران
- -Mg sin (θ) L = أنا α: يمكنك الحصول على اتجاه القوة العمودية بسبب الجاذبية (-مغ) بحساب التسارع كـالخطيئة (θ)إذاالخطيئة (θ) = د / لترلبعض الإزاحة الأفقيةدوزاويةθ لحساب الاتجاه.
- -Mg sin (θ) L = ML2 α: استبدل بمعادلة لحظة القصور الذاتي لجسم دوار باستخدام طول الوتر L كنصف قطر.
- -Mg sin (θ) L = -ML2د2θ / دينارا: ضع في اعتبارك العجلة الزاوية باستبدال المشتق الثاني للزاوية بالنسبة للوقتα.تتطلب هذه الخطوة معادلات التفاضل والتكامل.
- د2θ / دينارا2 + (جم / لتر) sinθ = 0: يمكنك الحصول على هذا من إعادة ترتيب طرفي المعادلة
- د2θ / دينارا2 + (جم / لتر) θ = 0: يمكنك التقريبيالخطيئة (θ)مثلθلأغراض بندول بسيط بزوايا اهتزاز صغيرة جدًا
- θ (ر) = θالأعلىكوس (t (L / g)2): معادلة الحركة لها هذا الحل. يمكنك التحقق من ذلك بأخذ المشتق الثاني من هذه المعادلة والعمل للحصول على الخطوة 7.
هناك طرق أخرى لعمل اشتقاق بسيط من البندول. افهم المعنى الكامن وراء كل خطوة لترى كيف ترتبط. يمكنك وصف حركة البندول البسيطة باستخدام هذه النظريات ، ولكن يجب أيضًا مراعاة العوامل الأخرى التي قد تؤثر على نظرية البندول البسيطة.
العوامل المؤثرة في حركة البندول
إذا قارنت نتيجة هذا الاشتقاق
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {t \ bigg (\ frac {L} {g} \ bigg) ^ 2}
لمعادلة مذبذب توافقي بسيطبعند مساواة بعضها ببعض ، يمكنك اشتقاق معادلة للفترة T:
T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {L}}
لاحظ أن هذه المعادلة لا تعتمد على الكتلةمللبندول ، السعةθالأعلىولا في الوقت المناسبر. هذا يعني أن الفترة مستقلة عن الكتلة والسعة والوقت ، ولكنها بدلاً من ذلك تعتمد على طول الوتر. يمنحك طريقة موجزة للتعبير عن حركة البندول.
طول مثال البندول
باستخدام معادلة الفترة ، يمكنك إعادة ترتيب المعادلة للحصول عليها
L = \ frac {(T / 2 \ pi) ^ 2} {g}
واستبدل 1 ثانية بـتيو9.8 م / ث2لزليحصلL =0.0025 م. ضع في اعتبارك أن معادلات نظرية البندول هذه تفترض أن طول الخيط عديم الاحتكاك والكتلة. لأخذ هذه العوامل في الاعتبار يتطلب معادلات أكثر تعقيدًا.
تعريف بسيط للبندول
يمكنك سحب زاوية البندول الخلفيθللسماح لها بالتأرجح ذهابًا وإيابًا لرؤيتها تتأرجح تمامًا مثل الربيع. بالنسبة إلى بندول بسيط ، يمكنك وصفه باستخدام معادلات الحركة لمذبذب توافقي بسيط. تعمل معادلة الحركة بشكل جيد مع القيم الأصغر للزاوية والسعة، الزاوية القصوى ، لأن نموذج البندول البسيط يعتمد على التقريب الذيالخطيئة (θ) ≈ θلبعض زاوية البندولθ.نظرًا لأن القيم الزوايا والسعات تصبح أكبر من حوالي 20 درجة ، فإن هذا التقريب لا يعمل أيضًا.
جربها بنفسك. بندول يتأرجح بزاوية ابتدائية كبيرةθلن تتأرجح بانتظام للسماح لك باستخدام مذبذب توافقي بسيط لوصفه. بزاوية ابتدائية أصغرθ، يقترب البندول من حركة تذبذبية منتظمة بسهولة أكبر. نظرًا لأن كتلة البندول ليس لها تأثير على حركته ، فقد أثبت الفيزيائيون أن جميع البندولات لها نفس فترة التذبذب الزوايا - الزاوية بين مركز البندول عند أعلى نقطة له ومركز البندول في موضعه المتوقف - أقل من 20 درجات.
لجميع الأغراض العملية لحركة البندول ، سيتباطأ البندول في النهاية ويتوقف بسبب الاحتكاك بين الخيط ونقطة تثبيته أعلاه وكذلك بسبب مقاومة الهواء بين البندول والهواء حولها.
للحصول على أمثلة عملية لحركة البندول ، تعتمد الفترة والسرعة على نوع المادة المستخدمة التي قد تسبب هذه الأمثلة على مقاومة الاحتكاك والهواء. إذا أجريت حسابات على سلوك تذبذب نظري في البندول دون احتساب هذه القوى ، فسيكون هذا هو السبب في تأرجح البندول بلا حدود.
قوانين نيوتن في البندول
يحدد قانون نيوتن الأول سرعة الأشياء استجابة للقوى. ينص القانون على أنه إذا تحرك جسم ما بسرعة معينة وفي خط مستقيم ، فإنه سيستمر في التحرك بهذه السرعة وفي خط مستقيم ، بلا حدود ، طالما لم تؤثر عليه قوة أخرى. تخيل رمي الكرة بشكل مستقيم للأمام - ستدور الكرة حول الأرض مرارًا وتكرارًا إذا لم تؤثر عليها مقاومة الهواء والجاذبية. يوضح هذا القانون أنه بما أن البندول يتحرك جنبًا إلى جنب وليس لأعلى ولأسفل ، فلا توجد قوى صعودا وهبوطا تعمل عليه.
يستخدم قانون نيوتن الثاني في تحديد القوة الكلية على البندول من خلال ضبط قوة الجاذبية على مساوية لقوة الخيط الذي يسحب لأعلى على البندول. يتيح لك تعيين هذه المعادلات مع بعضها البعض اشتقاق معادلات الحركة للبندول.
ينص قانون نيوتن الثالث على أن كل فعل له رد فعل بنفس القوة. يعمل هذا القانون مع القانون الأول الذي يوضح أنه على الرغم من أن الكتلة والجاذبية تلغي المكون الرأسي لمتجه التوتر الخيطي ، فلا شيء يلغي المكون الأفقي. يوضح هذا القانون أن القوى المؤثرة على البندول يمكن أن تلغي بعضها البعض.
يستخدم الفيزيائيون قوانين نيوتن الأول والثاني والثالث لإثبات أن توتر الأوتار الأفقي يحرك البندول بغض النظر عن الكتلة أو الجاذبية. تتبع قوانين البندول البسيط أفكار قوانين نيوتن الثلاثة للحركة.