كان حل ألغاز الكهرومغناطيسية أحد أعظم إنجازات الفيزياء حتى الآن ، والدروس المستفادة مغلفة بالكامل في معادلات ماكسويل.
أعطى جيمس كليرك ماكسويل اسمه لهذه المعادلات الأربع الأنيقة ، لكنها تتويج لعقود من العمل من قبل العديد من علماء الفيزياء ، بما في ذلك مايكل فاراداي وأندريه ماري أمبير وكارل فريدريش جاوس - الذين أعطوا أسماءهم لثلاثة من المعادلات الأربعة - والعديد من الآخرين. بينما أضاف ماكسويل نفسه مصطلحًا فقط إلى إحدى المعادلات الأربع ، كان لديه البصيرة والفهم جمع أفضل الأعمال التي تم إنجازها حول الموضوع وتقديمها بطريقة لا تزال مستخدمة من قبل علماء الفيزياء اليوم.
لسنوات عديدة ، اعتقد الفيزيائيون أن الكهرباء والمغناطيسية قوتان منفصلتان وظاهرتان منفصلتان. ولكن من خلال العمل التجريبي لأشخاص مثل فاراداي ، أصبح من الواضح بشكل متزايد أنهم كانوا في الواقع وجهين من الظاهرة نفسها ، وتقدم معادلات ماكسويل هذه الصورة الموحدة التي لا تزال صالحة اليوم كما كانت في القرن التاسع عشر مئة عام. إذا كنت ستدرس الفيزياء بمستويات أعلى ، فأنت بحاجة ماسة إلى معرفة معادلات ماكسويل وكيفية استخدامها.
معادلات ماكسويل
معادلات ماكسويل هي كما يلي ، في كل من الشكل التفاضلي والصيغة المتكاملة. (لاحظ أنه في حين أن معرفة المعادلات التفاضلية مفيدة هنا ، فإن الفهم المفاهيمي ممكن حتى بدونه.)
قانون غاوس للكهرباء
الشكل التفاضلي:
\ bm {∇ ∙ E} = \ فارك {ρ} {ε_0}
شكل متكامل:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
لا يوجد قانون أحادي القطب / قانون غاوس للمغناطيسية
الشكل التفاضلي:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
شكل متكامل:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
قانون فاراداي للاستقراء
الشكل التفاضلي:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
شكل متكامل:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere’s Law
الشكل التفاضلي:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
شكل متكامل:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
الرموز المستخدمة في معادلات ماكسويل
تستخدم معادلات ماكسويل مجموعة كبيرة جدًا من الرموز ، ومن المهم أن تفهم ما تعنيه هذه الرموز إذا كنت ستتعلم كيفية تطبيقها. إذن ، إليك ملخص تفصيلي لمعاني الرموز المستخدمة:
ب= المجال المغناطيسي
ه= المجال الكهربائي
ρ= كثافة الشحنة الكهربائية
ε0= سماحية المساحة الحرة = 8.854 × 10-12 م-3 كلغ-1 س4 أ2
ف= إجمالي الشحنة الكهربائية (صافي إجمالي الشحنات الموجبة والسالبة)
𝜙ب = التدفق المغناطيسي
ي= الكثافة الحالية
أنا= التيار الكهربائي
ج= سرعة الضوء = 2.998 × 108 آنسة
μ0 = نفاذية المساحة الحرة = 4π × 10−7 غير متاح2
بالإضافة إلى ذلك ، من المهم معرفة أن ∇ هي عامل التشغيل del ، وهي نقطة بين كميتين (X ∙ ص) يُظهر منتجًا قياسيًا ، رمز الضرب الغامق بين كميتين هو منتج متجه (X × ص) ، أن عامل التشغيل del الذي يحتوي على نقطة يسمى "divergence" (على سبيل المثال ، ∇ ∙ X= اختلافX= divX) وعامل del مع منتج عددي يسمى curl (على سبيل المثال ، ∇× ص= حليقة منص= حليقةص). وأخيرا، فإنأفي دأتعني مساحة السطح المغلق التي تحسبها (تُكتب أحيانًا على شكل dس)، و السفي دسهو جزء صغير جدًا من حدود السطح المفتوح الذي تحسبه (على الرغم من أن هذا أحيانًا يكون dل، بالإشارة إلى مكون خط صغير للغاية).
اشتقاق المعادلات
المعادلة الأولى لمعادلات ماكسويل هي قانون جاوس ، وتنص على أن صافي التدفق الكهربائي عبر أ السطح المغلق يساوي الشحنة الكلية الموجودة داخل الشكل مقسومة على سماحية الحر الفضاء. يمكن اشتقاق هذا القانون من قانون كولوم ، بعد اتخاذ الخطوة المهمة للتعبير عن قانون كولوم من حيث المجال الكهربائي والتأثير الذي سيكون له على شحنة الاختبار.
المعادلات الثانية من معادلات ماكسويل تكافئ أساسًا العبارة القائلة بأنه "لا توجد أحاديات أقطاب مغناطيسية". فإنه ينص أن صافي التدفق المغناطيسي عبر سطح مغلق سيكون دائمًا 0 ، لأن المجالات المغناطيسية هي دائمًا نتيجة a ثنائي القطب. يمكن اشتقاق القانون من قانون Biot-Savart ، الذي يصف المجال المغناطيسي الناتج عن عنصر حالي.
تصف المعادلة الثالثة - قانون فاراداي للحث - كيف ينتج مجال مغناطيسي متغير جهدًا في حلقة من الأسلاك أو الموصل. انها مشتقة في الأصل من تجربة. ومع ذلك ، نظرًا للنتيجة أن التدفق المغناطيسي المتغير يحث على قوة دافعة كهربائية (EMF أو جهد كهربائي) وبالتالي تيار كهربائي في حلقة من الأسلاك ، وحقيقة أن المجال الكهرومغناطيسي يعرف بأنه خط لا يتجزأ من المجال الكهربائي حول الدائرة ، من السهل وضع القانون سويا.
المعادلة الرابعة والأخيرة ، قانون Ampere (أو قانون Ampere-Maxwell لمنحه الفضل في مساهمة) يصف كيفية إنشاء مجال مغناطيسي بواسطة شحنة متحركة أو كهربي متغير مجال. القانون هو نتيجة التجربة (وهكذا - مثل كل معادلات ماكسويل - لم يكن "مشتقًا" بالمعنى التقليدي للكلمة) ، ولكن باستخدامنظرية ستوكسخطوة مهمة في الحصول على النتيجة الأساسية بالشكل المستخدم اليوم.
أمثلة على معادلات ماكسويل: قانون غاوس
لأكون صريحًا ، خاصةً إذا لم تكن على دراية بحساب المتجه تمامًا ، فإن معادلات ماكسويل تبدو شاقة للغاية على الرغم من مدى صغر حجمها نسبيًا. أفضل طريقة لفهمها حقًا هي الاطلاع على بعض الأمثلة لاستخدامها في الممارسة ، وقانون غاوس هو أفضل مكان للبدء. قانون غاوس هو أساسًا معادلة أكثر جوهرية تؤدي وظيفة قانون كولوم ، وهي كذلك من السهل جدًا اشتقاق قانون كولوم منه من خلال دراسة المجال الكهربائي الناتج عن نقطة الشحنة.
استدعاء المسؤولف، النقطة الأساسية لتطبيق قانون غاوس هي اختيار "السطح" المناسب لفحص التدفق الكهربائي من خلاله. في هذه الحالة ، الكرة تعمل بشكل جيد ولها مساحة سطحيةأ = 4πص2، لأنه يمكنك توسيط الكرة على الشحنة النقطية. هذه فائدة كبيرة لحل مشاكل مثل هذه لأنك لن تحتاج بعد ذلك إلى دمج مجال متنوع عبر السطح ؛ سيكون المجال متماثلًا حول الشحنة النقطية ، وبالتالي سيكون ثابتًا عبر سطح الكرة. لذا فإن الشكل المتكامل:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
يمكن التعبير عنها على النحو التالي:
E × 4πr ^ 2 = \ فارك {q} {ε_0}
نلاحظ أنهللحقل الكهربائي تم استبداله بحجم بسيط ، لأن المجال من شحنة نقطية سينتشر ببساطة بالتساوي في جميع الاتجاهات من المصدر. الآن ، القسمة على مساحة سطح الكرة تعطي:
E = \ فارك {q} {4πε_0r ^ 2}
بما أن القوة مرتبطة بالمجال الكهربائي بواسطةه = F/ف، أينفهو اختبار الشحنة ،F = qE، و حينئذ:
F = \ فارك {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
حيث تم إضافة الاشتراكات للتمييز بين الشحنتين. هذا هو قانون كولوم المنصوص عليه في الشكل القياسي ، وقد تبين أنه نتيجة بسيطة لقانون غاوس.
أمثلة على معادلات ماكسويل: قانون فاراداي
يسمح لك قانون فاراداي بحساب القوة الدافعة الكهربائية في حلقة من الأسلاك الناتجة عن مجال مغناطيسي متغير. مثال بسيط هو حلقة من السلك نصف قطرهاص= 20 سم ، في مجال مغناطيسي يزداد حجمه منبأنا = 1 تبF = 10 ت في فضاء ∆ر= 5 s - ما هو EMF المستحث في هذه الحالة؟ يتضمن الشكل المتكامل للقانون التدفق:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
والذي يعرف بأنه:
ϕ = BA \ cos (θ)
يتمثل الجزء الرئيسي من المشكلة هنا في إيجاد معدل تغير التدفق ، ولكن نظرًا لأن المشكلة واضحة إلى حد ما ، يمكنك استبدال المشتق الجزئي بـ "تغيير" بسيط لكل كمية. والتكامل يعني فقط القوة الدافعة الكهربائية ، لذا يمكنك إعادة كتابة قانون فاراداي للحث على النحو التالي:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
إذا افترضنا أن حلقة السلك لها محاذاة طبيعية مع المجال المغناطيسي ،θ= 0 درجة وهكذا كوس (θ) = 1. هذه الأوراق:
\ text {EMF} = - \ frac {BA} {∆t}
يمكن بعد ذلك حل المشكلة عن طريق إيجاد الفرق بين المجال المغناطيسي الأولي والنهائي ومنطقة الحلقة ، على النحو التالي:
\ start {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ نهاية {محاذاة}
هذا ليس سوى جهد صغير ، لكن قانون فاراداي يتم تطبيقه بنفس الطريقة بغض النظر.
أمثلة على معادلات ماكسويل: قانون أمبير-ماكسويل
قانون Ampere-Maxwell هو آخر معادلات ماكسويل التي ستحتاج إلى تطبيقها على أساس منتظم. تعود المعادلة إلى قانون Ampere في حالة عدم وجود مجال كهربائي متغير ، لذا فإن هذا هو المثال الأسهل الذي يجب مراعاته. يمكنك استخدامه لاشتقاق معادلة مجال مغناطيسي ناتج عن سلك مستقيم يحمل تيارًاأنا، وهذا المثال الأساسي كافٍ لإظهار كيفية استخدام المعادلة. القانون الكامل هو:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
ولكن مع عدم وجود مجال كهربائي متغير فإنه يقلل إلى:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I.
الآن ، كما هو الحال مع قانون غاوس ، إذا اخترت دائرة للسطح ، تتمحور حول حلقة السلك ، فإن الحدس يشير إلى أن المجال المغناطيسي الناتج سيكون متماثلًا ، وبذلك يمكنك استبدال التكامل بمنتج بسيط لمحيط الحلقة وشدة المجال المغناطيسي ، مغادرة:
ب × 2πr = μ_0 أنا
القسمة على 2πصيعطي:
ب = \ فارك {μ_0 أنا} {2πr}
وهو التعبير المقبول للمجال المغناطيسي عن بعدصناتج عن سلك مستقيم يحمل تيارًا.
موجات كهرومغناطيسية
عندما جمع ماكسويل مجموعته من المعادلات ، بدأ في إيجاد حلول لها للمساعدة في شرح العديد من المعادلات الظواهر في العالم الحقيقي ، والبصيرة التي أعطتها للضوء هي واحدة من أهم النتائج تم الحصول عليها.
لأن المجال الكهربائي المتغير يولد مجالًا مغناطيسيًا (بموجب قانون أمبير) ويولد مجال مغناطيسي متغير مجال كهربائي (بموجب قانون فاراداي) ، توصل ماكسويل إلى أن الموجة الكهرومغناطيسية ذاتية الانتشار قد تكون ممكن. استخدم معادلاته لإيجاد معادلة الموجة التي تصف مثل هذه الموجة وقرر أنها ستنتقل بسرعة الضوء. كانت هذه لحظة "eureka" من نوع ما. لقد أدرك أن الضوء شكل من أشكال الإشعاع الكهرومغناطيسي ، يعمل تمامًا مثل المجال الذي تخيله!
تتكون الموجة الكهرومغناطيسية من موجة مجال كهربائي وموجة مجال مغناطيسي تتأرجح ذهابًا وإيابًا ، مصطفة بزوايا قائمة مع بعضها البعض. يؤدي تذبذب الجزء الكهربائي من الموجة إلى توليد المجال المغناطيسي ، ويؤدي تذبذب هذا الجزء بدوره إلى إنتاج مجال كهربائي مرة أخرى ، أثناء انتقاله عبر الفضاء.
مثل أي موجة أخرى ، للموجة الكهرومغناطيسية تردد وطول موجي ، وحاصل ضربهما دائمًا يساويج، سرعة الضوء. الموجات الكهرومغناطيسية موجودة في كل مكان حولنا ، بالإضافة إلى الضوء المرئي ، تسمى الأطوال الموجية الأخرى عادةً موجات الراديو ، والميكروويف ، والأشعة تحت الحمراء ، والأشعة فوق البنفسجية ، والأشعة السينية ، وأشعة جاما. كل هذه الأشكال من الإشعاع الكهرومغناطيسي لها نفس الشكل الأساسي كما أوضحته معادلات ماكسويل ، لكن طاقاتها تختلف باختلاف التردد (أي التردد الأعلى يعني طاقة أعلى).
لذلك ، بالنسبة لعالم فيزياء ، كان ماكسويل هو من قال ، "ليكن ضوء!"