Ви коли-небудь замислювались, скільки води або кави може вміститися в одній з тих, здавалося б, незліченних пластикових одноразових чашок для води, таких, що в основі вужча, ніж зверху? Іншими словами, майже кожен паперовий, пластиковий чи інший одноразовий стаканчик, який ви коли-небудь бачили чи використовували? (Чесно кажучи, деякі чашки не мають похилих боків і, отже, циліндричні, але, схоже, це стосується лише постійний чашки.)
Описаний вище тип фігури базується на a конус, що є результатом лінії, що проходить через простір і трасує кривий шлях, такий як коло (у найпростішому випадку) або еліпс. Чашка, як правило, не гостроверха (деякі містять заморожені ласощі), але це все одно "шматочок" конуса, геометрично кажучи. Це дозволяє легко, з терпінням, знайти обсяг.
Об'єм конуса
Формула об’єму правильного, або правого, конуса (тобто такого з круглою основою) дорівнює
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2год
Де р - радіус основи і h - висота конуса. Крім того, оскільки збоку правильний конус виглядає як два прямокутні трикутники, розміщені разом, довжиною
s похилої сторони конуса має таке ж значення, як і гіпотенуза одного з цих трикутників. Таким чином, це дається шляхом застосування теореми Піфагора: р2 + h2 = s2, такs = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Обсяг конічної чашки: Частина перша
Скажімо, у вас є чашка шириною в основі 8 сантиметрів (см), зверху 10 см і висотою 15 см. Скільки рідини вона може вмістити в см3, які також називають мілілітрами (мл)?
Один із способів вирішити цю проблему - намалювати поперечний переріз чашки, тобто те, що виглядає збоку після того, як його розрізали рівно навпіл перпендикулярно до вашого поля зору. Якщо ви малюєте вертикальні лінії вгору від двох точок, де основа стикається зі сторонами до вершини чашки, тепер ви розділили переріз на два рівні, відбиті прямокутні трикутники та a прямокутник. Трикутники мають довгі «ніжки» 15 см і короткі «ніжки» 1 см (розділяючи різницю між базовою шириною і верхньою шириною).
Обсяг конічної чашки: Частина друга
Зверніть увагу, що трапиться, якщо ви розтягнете сторони чашки на вашій схемі до точки нижче основи. Також продовжте лінію вгору від центру вершини до точки, до якої сходяться лінії. (Можливо, у вас не буде місця, щоб сторони збіглися і утворили замкнутий трикутник, але підійдіть якомога ближче,)
Через принцип подібних трикутників ви знаєте, що відношення довгого катета трикутників зверху (15 см) до відношення малого катета (1 см) або 15 до 1, має бути таким, як відношення маленької ніжки до довгої ніжки одного новоствореного трикутника між основою "чашки" та точка. Оскільки мала нога має значення 4 см, довга нога повинна бути в 15 разів більше, або 60 см.
Таким чином, ви зараз маєте справу з поперечним перерізом конуса загальною висотою 15 + 60 = 75 см і шириною 10 см, що означає радіус 5 см. Об'єм цього конуса мінус об'єм конуса, що тягнеться до основи чашки, яка має висоту 60 см і ширину 8 см (r = 4 см), дає бажаний результат:
\ початок {вирівнювання} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {мл} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ текст {мл} \ кінець {вирівняний}
Таким чином, ваша чашка вміщує дуже близько 1 л (1000 мл) рідини.
Калькулятор обсягу конуса та чашки
Перелік калькуляторів із конусами з різними початковими комбінаціями інформації див. У “Ресурси”. Крім того, ви можете використовувати такий підхід, як вище, і розділити чашку на різні форми, а потім використовувати простіші формули (наприклад, формула об’єму куба) у відповідних комбінаціях для пошуку загальної суми гучність.