Якщо ви любите математичні дивацтва, вам сподобається трикутник Паскаля. Названий на честь французького математика 17-го століття Блеза Паскаля і відомий китайцям протягом багатьох століть до Паскаля як трикутник Янгуї, насправді це більше ніж дивина. Це специфічне розташування чисел, яке неймовірно корисне в алгебрі та теорії ймовірностей. Деякі його характеристики більш здивовані та цікаві, ніж корисні. Вони допомагають проілюструвати таємничу гармонію світу, описану цифрами та математикою.
Правило побудови трикутника Паскаля не може бути простішим. Почніть з цифри один на вершині та сформуйте другий ряд під нею парою одиниць. Щоб побудувати третій та всі наступні рядки, почніть з того, що ставите по одному на початку та в кінці. Виведіть кожну цифру між цією парою одиниць, додавши дві цифри безпосередньо над нею. Таким чином, третій ряд - 1, 2, 1, четвертий - 1, 3, 3, 1, п’ятий ряд - 1, 4, 6, 4, 1 тощо. Якщо кожна цифра займає коробку такого ж розміру, що і всі інші коробки, розташування утворює ідеальне рівносторонній трикутник, обмежений з двох сторін одиницями і з основою, рівною по довжині номеру ряду. Рядки симетричні тим, що читають однаково назад і вперед.
Паскаль відкрив трикутник, відомий століттями персидським і китайським філософам, коли вивчав алгебраїчне розширення виразу (x + y)п. Коли ви розширюєте цей вираз до n-го ступеня, коефіцієнти доданків у розкладі відповідають числам у n-му рядку трикутника. Наприклад, (x + y)0 = 1; (х + у)1 = х + у; (х + у)2 = х2 + 2xy + y2 і так далі. З цієї причини математики іноді називають розташування трикутником біноміальних коефіцієнтів. Для великої кількості n, очевидно, простіше прочитати коефіцієнти розширення з трикутника, ніж їх обчислити.
Припустимо, ви кидаєте монету певну кількість разів. Скільки комбінацій голів і хвостів ви можете отримати? Це можна дізнатися, подивившись на рядок у трикутнику Паскаля, який відповідає кількості разів, коли ви кидаєте монету, і додає всі цифри в цьому рядку. Наприклад, якщо ви кидаєте монету 3 рази, є 1 + 3 + 3 + 1 = 8 можливостей. Отже, ймовірність отримати однаковий результат тричі поспіль становить 1/8.
Подібним чином ви можете використовувати трикутник Паскаля, щоб знайти, скільки способів ви можете поєднувати об'єкти чи варіанти з заданого набору. Припустимо, у вас є 5 кульок, і ви хочете знати, скільки способів ви можете вибрати два з них. Просто перейдіть до п’ятого рядка і подивіться на другий запис, щоб знайти відповідь, тобто 5.