У геометричній послідовності кожен доданок дорівнює попередньому доданку, помноженому на постійний, ненульовий множник, який називається загальним коефіцієнтом. Геометричні послідовності можуть мати фіксовану кількість доданків, або вони можуть бути нескінченними. У будь-якому випадку, члени геометричної послідовності можуть швидко стати дуже великими, дуже негативними або дуже близькими до нуля. Порівняно з арифметичними послідовностями, терміни змінюються набагато швидше, але при цьому нескінченна арифметика послідовності постійно збільшуються або зменшуються, геометричні послідовності можуть наближатися до нуля, залежно від загального фактор.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Геометрична послідовність - це впорядкований перелік чисел, у яких кожен доданок є добутком попереднього доданка і фіксованим, ненульовим множником, який називається загальним множником. Кожен член геометричної послідовності є середнім геометричним терміном, що передує і слідує за ним. Нескінченні геометричні послідовності із загальним коефіцієнтом від +1 до -1 наближаються до межі нуля як доданки додаються, тоді як послідовності із загальним коефіцієнтом більше +1 або менше -1 переходять у плюс-мінус нескінченність.
Як працюють геометричні послідовності
Геометрична послідовність визначається початковим номерома, загальний факторрі кількість термінівS. Відповідна загальна форма геометричної послідовності:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Загальна формула термінупгеометричної послідовності (тобто будь-який член у цій послідовності) є:
a_n = ar ^ {n-1}
Рекурсивна формула, яка визначає термін щодо попереднього терміна, є:
a_n = ra_ {n-1}
Прикладом геометричної послідовності з початковим номером 3, загальним множником 2 і восьми доданків є 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Обчислюючи останній термін, використовуючи загальну форму, перераховану вище, термін є:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Використовуючи загальну формулу для терміну 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Якщо ви хочете використовувати рекурсивну формулу для терміну 5, тоді термін 4 = 24, а5 дорівнює:
a_5 = 2 × 24 = 48
Геометричні властивості послідовності
Геометричні послідовності мають особливі властивості, що стосується середнього геометричного. Середнє геометричне з двох чисел є квадратним коренем їх добутку. Наприклад, середнє геометричне 5 і 20 дорівнює 10, оскільки добуток 5 × 20 = 100, а квадратний корінь із 100 дорівнює 10.
У геометричних послідовностях кожен термін є середнім геометричним терміном перед ним і терміном після нього. Наприклад, у послідовності 3, 6, 12... вище, 6 - середнє геометричне 3 і 12, 12 - середнє геометричне 6 і 24, а 24 - середнє геометричне 12 і 48.
Інші властивості геометричних послідовностей залежать від загального коефіцієнта. Якщо загальний факторрбільше 1, нескінченні геометричні послідовності наближатимуться до позитивної нескінченності. Якщорстановить від 0 до 1, послідовності наближатимуться до нуля. Якщорзнаходиться між нулем та -1, послідовності наближатимуться до нуля, але доданки чергуватимуться між позитивними та негативними значеннями. Якщорменше ніж -1, доданки будуть мати тенденцію до позитивної та негативної нескінченності, оскільки вони чергуються між позитивними та негативними значеннями.
Геометричні послідовності та їх властивості особливо корисні в науково-математичних моделях процесів реального світу. Використання конкретних послідовностей може допомогти у вивченні популяцій, які зростають із фіксованою швидкістю протягом певних періодів часу, або інвестицій, що приносять відсотки. Загальні та рекурсивні формули дають можливість прогнозувати точні значення в майбутньому на основі вихідної точки та загального коефіцієнта.