Ряд Тейлора - це числовий метод подання даної функції. Цей метод застосовується у багатьох галузях техніки. У деяких випадках, наприклад, при передачі тепла, диференціальний аналіз призводить до рівняння, яке відповідає формі ряду Тейлора. Ряд Тейлора також може представляти інтеграл, якщо інтеграл цієї функції не існує аналітично. Ці подання не є точними значеннями, але обчислення більшої кількості членів у ряді зробить наближення більш точним.
Виберіть центр для серії Тейлор. Це число довільне, але непогано вибрати центр, де у функції є симетрія, або де значення центру спрощує математику задачі. Якщо ви обчислюєте подання ряду Тейлора f (x) = sin (x), хорошим центром для використання є a = 0.
Визначте кількість доданків, які ви хочете обчислити. Чим більше термінів ви використовуєте, тим точнішим буде ваше подання, але оскільки серія Тейлора - це нескінченна серія, неможливо включити всі можливі терміни. Приклад sin (x) використовуватиме шість термінів.
Обчисліть похідні, які вам знадобляться для ряду. У цьому прикладі потрібно обчислити всі похідні до шостої похідної. Оскільки ряд Тейлора починається з "n = 0", ви повинні включити "0-ту" похідну, яка є лише вихідною функцією. 0-й похідний = sin (x) 1-й = cos (x) 2-й = -sin (x) 3-й = -cos (x) 4-й = sin (x) 5-й = cos (x) 6-й = -sin (x)
Обчисліть значення для кожної похідної в обраному центрі. Ці значення будуть чисельниками для перших шести членів серії Тейлора. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
За допомогою похідних обчислень та центру визначте доданки ряду Тейлора. 1-й термін; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2-й доданок; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3-й термін; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4-й термін; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5-й термін; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6-й термін; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Ряд Тейлора для гріха (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Відкиньте нульові доданки в ряд і спростіть вираз алгебраїчно, щоб визначити спрощене представлення функції. Це буде зовсім інша серія, тому раніше використовувані значення "n" більше не застосовуються. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Оскільки знаки чергуються між позитивними та негативними, першою складовою спрощеного рівняння має бути (-1) ^ n, оскільки в ряді немає парних чисел. Термін (-1) ^ n призводить до негативного знаку, коли n непарне, і позитивного знака, коли n парне. Рядове представлення непарних чисел дорівнює (2n + 1). Коли n = 0, цей термін дорівнює 1; коли n = 1, цей термін дорівнює 3 і так далі до нескінченності. У цьому прикладі використовуйте це подання для показників x та факторіалів у знаменнику
Використовуйте подання функції замість вихідної функції. Для більш досконалих та складних рівнянь ряд Тейлора може зробити нерозв'язне рівняння розв'язним або, принаймні, дати розумне числове рішення.