Алгебра часто передбачає спрощення виразів, але деякі вирази є більш заплутаними, ніж інші. Складні числа включають величину, відому якi, «уявне» число із властивістюi= √−1. Якщо вам доводиться просто висловлювати складне число, це може здатися лякаючим, але це досить простий процес, коли ви вивчите основні правила.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Спростіть комплексні числа, дотримуючись правил алгебри з комплексними числами.
Що таке комплексне число?
Комплексні числа визначаються шляхом включення їх доiдоданок, який є квадратним коренем із мінус одиниці. У математиці базового рівня квадратні корені від’ємних чисел насправді не існують, але час від часу вони з’являються в задачах алгебри. Загальний вигляд комплексного числа показує їх структуру:
z = a + bi
Деzпозначає комплексне число,aпредставляє будь-яке число (зване "реальною" частиною), іbпредставляє інше число (зване «уявною» частиною), яке може бути позитивним або негативним. Отже, прикладом комплексного числа є:
z = 2 −4i
Оскільки всі квадратні корені від'ємних чисел можна представити кратними
Основні правила алгебри зі складними числами
Щоб складати і віднімати складні числа, просто додайте або відніміть дійсну та уявну частини окремо. Тож для комплексних чиселz = 2 – 4iіw = 3 + 5i, сума дорівнює:
\ begin {вирівнювання} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {вирівняно}
Віднімання чисел працює так само:
\ початок {вирівняний} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {вирівняний }
Множення - це ще одна проста операція зі складними числами, оскільки вона працює як звичайне множення, за винятком того, що про це потрібно пам’ятатиi2 = −1. Отже, для обчислення 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Але оскількиi2= −1, тоді:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
З повними комплексними числами (використовуючиz = 2 – 4iіw = 3 + 5iзнову), ви множите їх так само, як і на звичайні числа, такі як (a + b) (c + d), використовуючи метод “перший, внутрішній, зовнішній, останній” (FOIL), щоб дати (a + b) (c + d) = змінного струму + до н. е + оголошення + bd. Все, що вам слід пам’ятати, - це спростити будь-які екземпляриi2. Так наприклад:
\ begin {вирівнювання} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ кінець {вирівняний}
Ділення комплексних чисел
Ділення комплексних чисел передбачає множення чисельника та знаменника дробу на комплексне спряження знаменника. Комплексний спряжений якраз означає версію комплексного числа з уявною частиною, зворотною в знак. Отже дляz = 2 – 4i, складний спряженийz = 2 + 4i, та дляw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Для вирішення проблеми:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Потрібний кон'югат єw*. Поділіть чисельник і знаменник на це, щоб отримати:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
І тоді ви обробляєте, як і в попередньому розділі. Чисельник дає:
\ початок {вирівняно} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {вирівняне}
І знаменник дає:
\ початок {вирівняно} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {вирівнено}
Це означає:
\ початок {вирівняний} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {align}
Спрощення складних чисел
За потреби використовуйте наведені вище правила для спрощення складних виразів. Наприклад:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Це можна спростити, використовуючи правило додавання в чисельнику, правило множення в знаменнику, а потім завершуючи ділення. Для чисельника:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Для знаменника:
\ початок {вирівняно} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {вирівнено}
Повернення їх на місце дає:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Помноження обох частин на сполучену знаменник призводить до:
\ початок {вирівняний} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {вирівняно}
Отож це означаєzспрощується наступним чином:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ кінець {вирівняний}
