Як знайти похідні

Однією з важливих операцій, яку ви робите в обчисленні, є пошук похідних. Похідна функції також називається швидкістю зміни цієї функції. Наприклад, якщо x (t) - положення автомобіля в будь-який момент часу t, то похідна від x, яка записується dx / dt, - це швидкість автомобіля. Крім того, похідну можна візуалізувати як нахил прямої, дотичної до графіка функції. На теоретичному рівні математики так знаходять похідні. На практиці математики використовують набори основних правил і таблиці пошуку.

Нахил лінії між двома точками - це зростання, або різниця значень y, поділена на пробіг, або різниця значень x. Нахил функції y (x) для певного значення x визначається як нахил прямої, яка дотична до функції в точці [x, y (x)]. Для обчислення нахилу ви будуєте пряму між точкою [x, y (x)] і сусідньою точкою [x + h, y (x + h)], де h - дуже мала кількість. Для цього рядка пробіг або зміна значення x дорівнює h, а підйом або зміна значення y - y (x + h) - y (x). Отже, нахил y (x) у точці [x, y (x)] приблизно дорівнює [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / год. Щоб точно отримати нахил, ви обчислюєте значення нахилу, коли h стає все меншим і меншим, до “межі”, де вона дорівнює нулю. Розрахований таким чином нахил є похідною від y (x), яка записується як y ’(x) або dy / dx.

Ви можете використовувати метод нахилу / обмеження для обчислення похідних функцій, де y дорівнює x степеню a, або y (x) = x ^ a. Наприклад, якщо y дорівнює x куб, y (x) = x ^ 3, то dy / dx - це межа, оскільки h дорівнює нулю [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Розширюючи (x + h) ^ 3, ви отримуєте [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, що зменшується до 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 після поділу за год. У межі, коли h переходить у нуль, усі доданки, в яких є h, також переходять у нуль. Отже, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Ви можете зробити це для значень, відмінних від 3, і загалом, ви можете показати, що d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Багато функцій можна записати як те, що називається степенним рядом, що є сумою нескінченного числа членів, де кожен має вигляд C (n) x ^ n, де x - змінна, n - ціле число, а C (n) - конкретне число для кожного значення п. Наприклад, степеневий ряд для функції синуса: Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., де "..." означає умови, що продовжуються на до нескінченності. Якщо ви знаєте степенний ряд для функції, ви можете використовувати похідну від степеня x ^ n для обчислення похідної функції. Наприклад, похідна від Sin (x) дорівнює 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., що є степенним рядом для Cos (x).

Похідні основних функцій, таких як степені, як x ^ a, експоненціальні функції, журнальні функції та триггерні функції, знаходять за допомогою методу нахилу / обмеження, методу ступенів чи інших методів. Потім ці похідні перераховані в таблицях. Наприклад, ви можете подивитися, що похідною від Sin (x) є Cos (x). Коли складні функції є комбінаціями основних функцій, вам потрібні спеціальні правила, такі як правило ланцюга та правило продукту, які також наведені в таблицях. Наприклад, ви використовуєте правило ланцюга, щоб знайти, що похідна від Sin (x ^ 2) дорівнює 2xCos (x ^ 2). Ви використовуєте правило добутку, щоб виявити, що похідною xSin (x) є xCos (x) + Sin (x). Використовуючи таблиці та прості правила, ви можете знайти похідну від будь-якої функції. Але коли функція надзвичайно складна, вчені іноді вдаються до комп’ютерних програм за допомогою.