Квадратні рівняння - це формули, які можна записати у вигляді Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Іноді квадратичне рівняння можна спростити факторингом або виразивши рівняння як добуток окремих доданків. Це може полегшити розв’язання рівняння. Іноді важко визначити фактори, але існують хитрощі, які можуть полегшити процес.
Зменшіть рівняння на найбільший загальний коефіцієнт
Вивчіть квадратне рівняння, щоб визначити, чи існує число та / або змінна, яка може розділити кожен член рівняння. Наприклад, розглянемо рівняння 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Найбільше число, яке можна рівномірно поділити на кожен член рівняння, це 2, отже 2 є найбільшим загальним фактором (GCF).
Розділіть кожне доданок у рівнянні на коефіцієнт корисної дії та помножте все рівняння на коефіцієнт корисної дії. У прикладі рівняння 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, це призведе до 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Спростіть вираз, заповнивши ділення в кожному доданку. У остаточному рівнянні не повинно бути дробів. У прикладі це призведе до 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.
Шукайте різницю квадратів (якщо B = 0)
Вивчіть квадратне рівняння, щоб побачити, чи воно має вигляд Ax ^ 2 + 0x - C = 0, де A = y ^ 2 і C = z ^ 2. Якщо це так, квадратичне рівняння виражає різницю двох квадратів. Наприклад, у рівнянні 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 і C = 9 = 3 ^ 2, отже, y = 2 і z = 3.
Розкладіть рівняння на вигляд (yx + z) (yx - z) = 0. У прикладі рівняння y = 2 та z = 3; тому розкладене на множники квадратне рівняння дорівнює (2x + 3) (2x - 3) = 0. Це завжди буде множною формою квадратного рівняння, яке є різницею квадратів.
Шукайте Ідеальні квадрати
Вивчіть квадратне рівняння, щоб побачити, чи це ідеальний квадрат. Якщо квадратне рівняння є ідеальним квадратом, його можна записати у вигляді y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, наприклад рівняння 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, яке можна переписати як (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. У цьому випадку y = 2x та z = 3.
Перевірте, чи доданок 2yz позитивний. Якщо доданок позитивний, коефіцієнтами ідеального квадратного квадратного рівняння завжди є (y + z) (y + z). Наприклад, у наведеному вище рівнянні 12x є додатним, тому коефіцієнти (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Перевірте, чи не від’ємний термін 2yz. Якщо термін негативний, фактори завжди (y - z) (y - z). Наприклад, якби рівняння вище мало термін -12x замість 12x, коефіцієнти мали б бути (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Метод зворотного множення FOIL (якщо A = 1)
Встановіть множну форму квадратного рівняння, записавши (vx + w) (yx + z) = 0. Згадайте правила множення FOIL (First, Outside, Inside, Last). Оскільки першим членом квадратного рівняння є Ax ^ 2, обидва фактори рівняння повинні містити x.
Розв’яжіть для v та y, врахувавши всі множники A у квадратному рівнянні. Якщо A = 1, то і v, і y завжди будуть 1. У наведеному прикладі рівняння x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, тому v і y можна розв'язати у множнику, отримавши (1x + w) (1x + z) = 0.
Визначте, чи w і z позитивні чи негативні. Застосовуються наступні правила: C = позитивні та B = позитивні; обидва фактори мають знак + C = позитивний і B = негативний; обидва фактори мають a - знак C = негативний і B = позитивний; коефіцієнт з найбільшим значенням має знак + З = негативний і В = негативний; коефіцієнт з найбільшим значенням має знак - У прикладі рівняння з кроку 2 B = -9 та C = +8, тому обидва фактори рівняння матимуть - знаки, а враховане рівняння можна записати як (1x - w) (1x - z) = 0.
Складіть список усіх факторів C, щоб знайти значення для w і z. У наведеному вище прикладі C = 8, тому коефіцієнти 1 і 8, 2 і 4, -1 і -8, і -2 і -4. Коефіцієнти повинні складатись з B, що в прикладі рівняння дорівнює -9, отже w = -1 і z = -8 (або навпаки), і наше рівняння повністю враховується як (1x - 1) (1x - 8) = 0.
Метод коробки (якщо A ні = 1)
Зведіть рівняння до найпростішої форми, використовуючи метод найбільшого загального фактора, перерахований вище. Наприклад, у рівнянні 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, GCF дорівнює 9, тому рівняння спрощується до 9 (x ^ 2 + 3x - 10).
Намалюйте коробку та розділіть її на таблицю з двома рядками та двома стовпцями. Помістіть Ax ^ 2 спрощеного рівняння в рядок 1, стовпець 1, а C спрощеного рівняння у рядок 2, стовпець 2.
Помножте A на C і знайдіть усі множники добутку. У наведеному вище прикладі A = 1 та C = -10, тому добуток дорівнює (1) (- 10) = -10. Коефіцієнти -10 дорівнюють -1 і 10, -2 і 5, 1 і -10, а також 2 і -5.
Визначте, який із факторів продукту змінного струму складають Б. У прикладі B = 3. Коефіцієнти -10, які складаються до 3, це -2 і 5.
Помножте кожен із визначених множників на х. У наведеному вище прикладі це призведе до -2x та 5x. Помістіть ці два нових терміни у два порожні пробіли на діаграмі, щоб таблиця виглядала так:
x ^ 2 | 5x
-2x | -10
Знайдіть GCF для кожного рядка та стовпця вікна. У прикладі коефіцієнт корисної дії для верхнього рядка дорівнює x, а для нижнього рядка - -2. GCF для першого стовпця дорівнює x, а для другого стовпця - 5.
Запишіть коефіцієнт рівняння у формі (w + v) (y + z), використовуючи коефіцієнти, визначені з рядків діаграми для w та v, та фактори, визначені зі стовпців діаграми для y та z. Якщо рівняння було спрощене на кроці 1, не забудьте включити коефіцієнт корисної дії рівняння у множник. У випадку прикладу, враховуване рівняння буде враховувати 9 (x - 2) (x + 5) = 0.
Поради
Перш ніж почати будь-який із описаних методів, переконайтесь, що рівняння має стандартну квадратну форму.
Не завжди легко визначити ідеальний квадрат або різницю квадратів. Якщо ви швидко переконаєтесь, що квадратне рівняння, яке ви намагаєтеся врахувати, знаходиться в одній із цих форм, то це може бути великою підмогою. Однак не витрачайте багато часу, намагаючись це зрозуміти, оскільки інші методи можуть бути швидшими.
Завжди перевіряйте свою роботу шляхом множення множників за допомогою методу FOIL. Коефіцієнти завжди повинні множитися до вихідного квадратного рівняння.