Найкращий спосіб множити многочлени з дробами починається зі зменшення дробів до простіших доданків. Поліноми представляють алгебраїчні вирази з двома або більше доданками, точніше, сумою кратних доданків, які мають різні вирази однієї і тієї ж змінної. Стратегії, що сприяють спрощенню поліномів, передбачають вилучення найбільшого спільного множника з наступною групуванням рівняння за найнижчими членами. Те саме справедливо навіть при розв’язуванні многочленів із дробами.
Поліноми з визначеними дробами
У вас є три способи перегляду фрази поліноми з дробами. Перша інтерпретація стосується поліномів з частками коефіцієнтів. В алгебрі коефіцієнт визначається як кількість чи константа, знайдена перед змінною. Іншими словами, коефіцієнти для 7_a_, b та (1/3)c становлять 7, 1 та (1/3) відповідно. Отже, двома прикладами поліномів з коефіцієнтами частки можуть бути:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {та} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
Друге тлумачення «багаточленів з дробами» стосується багаточленів, що існують у частці чи співвідношенні форма з чисельником і знаменником, де багаточлен чисельника ділиться на знаменник багаточлен. Наприклад, це друге тлумачення ілюструється:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Третя інтерпретація тим часом стосується часткового розкладання фракції, також відомого як часткове розширення фракції. Іноді дроби поліномів складні, так що коли вони “розкладаються” або “розпадаються” на простіші терміни, вони представлені як суми, різниці, добутки або частки багаточлена дроби. Для ілюстрації, складна поліноміальна частка:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
обчислюється шляхом часткового розкладання дробу, яке, до речі, включає множник багаточленів у найпростішій формі:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Основи факторингу - розподільна властивість та метод FOIL
Фактори представляють два числа, які при множенні разом дорівнюють третьому числу. В алгебраїчних рівняннях множник визначає, які дві величини множили разом, щоб отримати певний поліном. Властивість розподілу в значній мірі дотримується при множенні поліномів. Властивість розподілу по суті дозволяє помножити суму шляхом множення кожного числа окремо перед додаванням продуктів. Поспостерігайте, наприклад, як застосовується розподільне властивість у прикладі:
7 (10x + 5) \ text {, щоб дійти до бінома} 70x + 35.
Але, якщо два двочлени помножити разом, то розширена версія властивості розподілу використовується методом FOIL. FOIL являє собою абревіатуру першого, зовнішнього, внутрішнього та останнього термінів, що множаться. Отже, факторинг поліномів тягне за собою виконання методу FOIL назад. Візьмемо два вищезазначені приклади з поліномами, що містять коефіцієнти частки. Виконання методу FOIL назад для кожного з них приводить до факторів
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
для першого многочлена та фактори
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
для другого полінома.
Приклад:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Приклад:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Кроки під час розкладання поліноміальних дробів на множники
Зверху дроби поліномів беруть участь у многочисельнику в чисельнику, поділеному на багаточлен у знаменнику. Таким чином, обчислення дробів поліномів вимагає множення многочлена чисельника, а потім множника знаменника. Це допомагає знайти найбільший спільний множник (GCF) між чисельником та знаменником. Коли GCF і чисельника, і знаменника знайдено, він скасовується, зрештою зменшуючи все рівняння на спрощені терміни. Розглянемо вихідний приклад поліноміального дробу, наведений вище
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Розділення множника на чисельник та знаменник для знаходження GCF дає:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
з GCF (х + 2).
GCF як у чисельнику, так і в знаменнику перекреслюють один одного, щоб надати остаточну відповідь у найнижчому значенні (х + 5) ÷ (х + 9).
Приклад:
\ початок {вирівняний} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ скасувати {(x + 2)} (x + 5)} {\ скасувати {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {align}
Оцінювання рівнянь методом часткового дробу
Розкладання часткового дробу, що включає факторинг, є способом переписування складних рівнянь дробу поліномів у простішу форму. Переглянувши приклад зверху
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Спростіть знаменник
Спростіть знаменник, щоб отримати:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Переставити нумератор
Далі переставте чисельник так, щоб у знаменнику почали бути присутні GCF, щоб отримати:
\ початок {вирівняний} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {align}
Для лівого доповнення GCF становить (х - 1), тоді як для правильного додавання GCF становить (х + 2), які відміняються в чисельнику та знаменнику, як видно з:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ скасувати {(x - 1)}} {(x + 2) \ скасувати {(x - 1)}} + \ frac {5 \ скасувати {(x + 2)}} {\ скасувати {(x + 2)} (x - 1) }
Таким чином, коли GCF скасовують, остаточна спрощена відповідь:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
як розчин часткової частки розкладу.