Добуток двох скалярних величин є скаляром, а добуток скаляра з вектором - вектором, а як щодо добутку двох векторів? Це скаляр, чи інший вектор? Відповідь полягає в тому, що це може бути будь-яке!
Є два способи взяти векторний добуток. Один - беручи їх точковий добуток, який дає скаляр, а інший - беручи їх поперечний добуток, який дає інший вектор. Який продукт використовуватиметься, залежить від конкретного сценарію та якої кількості ви намагаєтесь знайти.
Перехресний добуток двох векторів дає третій вектор, який вказує в напрямку, перпендикулярному до площиною, охопленою двома векторами, і величина якої залежить від відносної перпендикулярності двох вектори.
Визначення перехресного добутку векторів
Спочатку визначимо перехресний добуток одиничних векторівi, jіk(вектори величини 1, що вказують нах-, у-іz-компонентні напрямки стандартної декартової системи координат) наступні:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Зверніть увагу, що ці відносини є антикомутативними, тобто, якщо ми змінимо порядок векторів, з яких беремо добуток, це перевертає знак добутку:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Ми можемо використовувати наведені вище визначення для виведення формули поперечного добутку двох тривимірних векторів. Спочатку напишіть векториaіbнаступним чином:
\ жирний {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ жирний {i} + a_y \ жирний {j} + a_z \ жирний {k} \\ \ жирний {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Помноживши два вектори, отримаємо:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ жирний {k}) \\ = a_xb_x \ жирний {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ раз i} + a_zb_y \ жирний {k \ раз j} + a_zb_z \ жирний {k \ раз k}
Потім, використовуючи наведені вище одиничні векторні співвідношення, це спрощується:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ жирний {k \ times i} - a_zb_y \ жирний {j \ раз k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ жирний {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ жирний {k}
(Зверніть увагу, що терміни, перехресний добуток яких становив 0, - це умови, що утворюють точковий добуток (також званий скалярним добутком)!Це не випадково.)
Іншими словами:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {де} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Величина поперечного добутку може бути визначена за допомогою теореми Піфагора.
Формула перехресного добутку також може бути виражена як визначальна для наступної матриці:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {матриця} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {матриця} \ Bigg | \\ = \ Великий | \ початок {матриця} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Де визначник} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = ad - bc
Іншим, часто дуже зручним, формулюванням поперечного продукту є (див. Кінець цієї статті для виведення):
\ жирний {a × b} = | \ жирний {a} | | \ жирний {b} | \ sin (θ) \ жирний {n}
Де:
- |a| - величина (довжина) вектораa
- |b| - величина (довжина) вектораb
- θ - кут між aі b
- п- одиничний вектор, перпендикулярний площині, охопленій aіb
Перпендикулярні вектори та правило правої руки
В описі поперечного добутку зазначено, що напрямок поперечного добутку перпендикулярний площині, охопленій векторомaта векторb. Але це залишає дві можливості: це може вказуватизлітак абовплощину, охоплену цими векторами. Реальність така, що насправді ми можемо вибрати будь-яку, доки ми будемо послідовними. Однак улюблений напрямок, обраний математиками та вченими, визначається чимось, що називаєтьсяправило правої руки.
Щоб визначити напрямок векторного перехресного виробу за допомогою правила правої руки, наведіть вказівний палець правої руки у напрямку вектораaі середній палець у напрямку вектораb. Потім великий палець вказує у напрямку вектора поперечного продукту.
Іноді ці напрямки важко зобразити на плоскому аркуші паперу, тому часто дотримуються таких умов:
Щоб вказати вектор, який заходить на сторінку, ми малюємо коло, на якому є Х (уявіть це як представлення пір’я хвоста на кінці стрілки, коли ви дивитесь на нього ззаду). Для позначення вектора, який виходить із сторінки у зворотному напрямку, ми малюємо коло з крапкою (думайте про це як про кінчик стрілки, що вказує на сторінку).
•••н
Властивості поперечного продукту
Нижче наведено кілька властивостей векторного поперечного добутку:
\ # \ текст {1. Якщо} \ bold {a} \ text {та} \ bold {b} \ text {паралельні, то} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ текст {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ текст {3. } \ жирний {a \ times (b + c)} = \ жирний {a \ times b} + \ жирний {a \ times c}
\ # \ текст {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ текст {5. } \ жирний {a \ cdot (b \ раз c}) = \ жирний {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Де} \ жирний {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {матриця } \ Bigg |
Геометрична інтерпретація поперечного продукту
Коли перехресний добуток вектора сформульовано через гріх (θ), його величину можна інтерпретувати як представлення площі паралелограма, охопленого двома векторами. Це тому, що дляa × b, |b| sin (θ) = висота паралелограма, як показано, та |a| є основою.
•••Дана Чень | Наукове
Величина векторного потрійного добуткуa (b × c) можна, в свою чергу, інтерпретувати як обсяг паралелепіпеда, охопленого векторамиa, bіc. Це відбувається тому(b × c) дає вектор, величина якого - площа, охоплена векторомbта векторc, і напрям якого перпендикулярний до цієї області. Беручи точковий добуток вектораaз цим результатом, по суті, множиться площа основи, помножена на висоту.
Приклади
Приклад 1:Сила на частинку зарядуqрухаючись зі швидкістюvв магнітному поліBзадається:
\ жирний {F} = q \ жирний {v \ раз B}
Припустимо, електрон проходить через магнітне поле 0,005 Т зі швидкістю 2 × 107 РС. Якщо воно проходить перпендикулярно через поле, тоді сила, яку він буде відчувати:
\ жирний {F} = q \ жирний {v \ раз B} = qvB \ sin (\ theta) \ жирний {n} = (-1.602 \ раз 10 ^ {19}) (2 \ раз 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ жирний {n} = -1.602 \ раз 10 ^ {- 14} \ текст {N} \ жирний {n}
Однак, якщо електрон рухається паралельно полю, тоді θ = 0, а sin (0) = 0, роблячи силу 0.
Зверніть увагу, що для електрона, що проходить перпендикулярно через поле, ця сила змусить його рухатися по колу. Радіус цього кругового шляху можна знайти, встановивши магнітну силу, рівну доцентровій силі, і вирішивши радіуср:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ передбачає r = \ frac {mv} {qB}
Для прикладу вище, підключення цифр дає радіус приблизно 0,0227 м.
Приклад 2:Момент фізичної величини також обчислюється за допомогою перехресного добутку вектора. Якщо силаFзастосовується до об'єкта в положеннірвід точки повороту, крутний моментτпро точку повороту дається:
\ жирний {\ tau} = \ жирний {r \ раз F}
Розглянемо ситуацію, коли сила 7 Н прикладена під кутом до кінця стрижня 0,75, інший кінець якого прикріплений до шарніра. Кут міжріFстановить 70 градусів, тому крутний момент можна обчислити:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Напрямок крутного моменту,п, знайдено за правилом правої руки. Якщо застосувати до зображення вище, це дає напрямок, що виходить зі сторінки чи екрана. Загалом, крутний момент, що застосовується до предмета, змусить об'єкт обертатися. Вектор крутного моменту завжди буде лежати в тому ж напрямку, що і вісь обертання.
Насправді, у цій ситуації можна використовувати спрощене правило правої руки: Використовуйте праву руку, щоб "захопити" вісь обертання в таким чином, що пальці згортаються в напрямку, за яким пов'язаний крутний момент захоче обертати об'єкт. Потім великий палець вказує у напрямку вектора крутного моменту.
Виведення формули перехресного продукту
\ text {Тут ми покажемо, як формула перехресного добутку} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ жирний {b} | \ sin (θ) \ жирний {n} \ текст {можна отримати.}
Розглянемо два векториaіbз кутомθміж ними. Прямокутний трикутник можна сформувати, намалювавши лінію від кінчика вектораaдо перпендикулярної точки дотику до вектораb.
Використовуючи теорему Піфагора, ми отримуємо таке співвідношення:
\ Великий | \ Великий (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Великий) \ bold {b} \ Великий | ^ 2 + (| \ жирний {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ жирний {a} | ^ 2
\ text {Де} \ Великий (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Великий) \ bold {b} \ text {- проекція вектора} \ bold {a} \ text {на вектор} \ bold {b}.
Трохи спростивши вираз, отримаємо наступне:
\ frac {| \ жирний {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ жирний {b} | ^ 2} + | \ жирний {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ жирний { a} | ^ 2
Далі помножте обидві сторони рівняння на |b|2 і перенесіть перший член в праву частину, щоб отримати:
| \ жирний {a} | ^ 2 | \ жирний {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ жирний {a} | ^ 2 | \ жирний {b} | ^ 2 - | \ жирний { a \ cdot b} | ^ 2
Працюючи з правою стороною, помножте все, а потім спростіть:
| \ жирний {a} | ^ 2 | \ жирний {b} | ^ 2 - | \ жирний {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z_x___________________________b (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ жирний {a \ times b} | ^ 2
Встановивши результат рівним лівій частині попереднього рівняння, отримаємо наступне співвідношення:
| \ жирний {a \ раз b} | = | \ жирний {a} || \ жирний {b} || \ sin (\ theta) |
Це показує нам, що величини однакові у формулі, тому останнє, що потрібно зробити, щоб довести формулу, - показати, що напрямки також однакові. Це можна зробити, просто взявши крапкові вироби зaзa × bіbзa × bі показуючи, що вони дорівнюють 0, маючи на увазі, що напрямокa × b перпендикулярна до обох.