Рівняння Шредінгера є найбільш фундаментальним рівнянням у квантовій механіці, і вивчення того, як ним користуватися і що воно означає, є важливим для будь-якого початкового фізика. Рівняння названо на честь Ервіна Шредінгера, який виграв Нобелівську премію разом з Полом Діраком у 1933 році за внесок у квантову фізику.
Рівняння Шредінгера описує хвильову функцію квантово-механічної системи, яка дає імовірнісна інформація про місцезнаходження частинки та інших спостережуваних величин, таких як її імпульс. Найважливіше, що ви зрозумієте про квантову механіку, дізнавшись про рівняння, це те, що закони в квантовій області єдуже різнівід класичної механіки.
Хвильова функція
Хвильова функція - одне з найважливіших понять у квантовій механіці, оскільки кожна частинка представлена хвильовою функцією. Зазвичай дається грецька буква psi (Ψ), і це залежить від положення та часу. Коли у вас є вираз для хвильової функції частинки, він говорить вам усе, про що можна знати фізичної системи, і різні значення спостережуваних величин можна отримати, застосувавши оператор до це.
Квадрат модуля хвильової функції говорить вам про ймовірність знаходження частинки в певному положенніхв даний част. Це лише у випадку, якщо функція "нормалізована", що означає, що сума модуля квадрата за всіма можливими місцями повинна дорівнювати 1, тобто, що частинкапевнарозташовуватисядесь.
Зверніть увагу, що хвильова функція надає лише ймовірнісну інформацію, і тому ви не можете передбачити результат жодного спостереження, хоча виможевизначити середнє значення за багатьма вимірами.
Ви можете використовувати хвильову функцію для обчислення“Очікуване значення”для положення частинки в момент часут, причому значення очікування є середнім значеннямхВи отримали б, якби повторили вимірювання багато разів
Знову ж таки, це нічого не говорить про конкретне вимірювання. Насправді, хвильова функція - це швидше розподіл ймовірностей для однієї частинки, ніж щось конкретне та надійне. Використовуючи відповідний оператор, ви також можете отримати очікувані значення імпульсу, енергії та інших спостережуваних величин.
Рівняння Шредінгера
Рівняння Шредінгера - це лінійне диференціальне рівняння в частинних похідних, яке описує еволюцію a квантовий стан подібно до законів Ньютона (зокрема, другого закону) в класичному механіка.
Однак рівняння Шредінгера є хвильовим рівнянням для хвильової функції розглянутої частинки, і тому використання рівняння для прогнозування майбутнього стану системи іноді називають "хвильовою механікою". Саме рівняння походить від збереження енергії і будується навколо оператора, який називається Гамільтоніан.
Найпростіша форма записаного рівняння Шредінгера:
H Ψ = iℏ \ frac {\ частковоΨ} {\ частково t}
Де ℏ - зменшена константа Планка (тобто константа, поділена на 2π) іHє гамільтоновим оператором, який відповідає сумі потенційної енергії та кінетичної енергії (повної енергії) квантової системи. Однак гамільтоніан є досить довгим виразом, тому повне рівняння можна записати як:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ частковий ^ 2 Ψ} {\ частковий x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ частковийΨ} {\ частковий t}
Зазначивши, що іноді (для явно тривимірних задач) перша часткова похідна записується як оператор Лапласа ∇2. По суті, гамільтоніан діє на хвильову функцію, щоб описати її еволюцію в просторі та часі. Але в незалежній від часу версії рівняння (тобто коли система не залежить відт), гамільтоніан дає енергію системи.
Розв’язання рівняння Шредінгера означає пошукквантово-механічна хвильова функціящо задовольняє це для конкретної ситуації.
Залежне від часу рівняння Шредінгера
Залежне від часу рівняння Шредінгера є версією з попереднього розділу, і воно описує еволюцію хвильової функції для частки у часі та просторі. Простий випадок для розгляду - це вільна частинка, оскільки вона є потенційною енергієюV= 0, і розв’язок набуває форми плоскої хвилі. Ці рішення мають вигляд:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Деk = 2π / λ, λ- довжина хвилі, іω = Е / ℏ.
Для інших ситуацій частина потенціальної енергії вихідного рівняння описує граничні умови для просторова частина хвильової функції, і її часто поділяють на функцію еволюції часу та незалежну від часу рівняння.
Незалежне від часу рівняння Шредінгера
Для статичних ситуацій або рішень, що утворюють стоячі хвилі (таких як потенційна свердловина, рішення типу "частинка в коробці"), ви можете розділити хвильову функцію на часові та космічні частини:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Коли ви пройдете це повністю, часову частину можна скасувати, залишивши форму рівняння Шредінгералишезалежить від положення частинки. Тоді незалежна від часу хвильова функція визначається:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
ОсьЕ- енергія квантово-механічної системи, іHє гамільтоновим оператором. Ця форма рівняння має точну форму рівняння власного значення з хвильовою функцією будучи власною функцією, а енергія - власним значенням, коли застосовується гамільтонівський оператор до нього. Розширюючи гамільтоніан у більш явну форму, його можна повністю записати як:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ частковий ^ 2 Ψ} {\ частковий x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Часова частина рівняння міститься у функції:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Рішення незалежного від часу рівняння Шредінгера
Незалежне від часу рівняння Шредінгера добре піддається досить простим рішенням, оскільки воно зменшує повну форму рівняння. Прекрасним прикладом цього є група рішень «частинка в коробці», де передбачається, що частинка знаходиться в нескінченній квадратній потенціальній ямі в одному вимірі, тому потенціал нульовий (тобтоV= 0) на всьому протязі, і немає шансу виявити частинку поза свердловиною.
Існує також скінченна квадратна свердловина, де потенціал на «стінках» свердловини не безмежний, і навіть якщо він перевищує енергію частинки, існуєдеякіможливість знайти частинку поза нею завдяки квантовому тунелюванню. Для нескінченної потенційної свердловини рішення мають вигляд:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
ДеL- довжина колодязя.
Потенціал дельта-функції - це дуже подібне поняття до потенційної свердловини, за винятком шириниLдо нуля (тобто нескінченно малого навколо однієї точки) і глибини свердловини до нескінченності, тоді як добуток двох (U0) залишається постійним. У цій дуже ідеалізованій ситуації існує лише один зв’язаний стан, заданий:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
З енергією:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Розчин атома водню до рівняння Шредінгера
Нарешті, розчин атома водню має очевидне застосування до реальної фізики, але на практиці ситуація така адже електрон навколо ядра атома Гідрогену можна розглядати як досить подібний до потенційної свердловини проблеми. Однак ситуація тривимірна і найкраще описується у сферичних координатахр, θ, ϕ. Рішення в цьому випадку дається:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
ДеP- поліноми Лежандра,Р.- специфічні радіальні рішення, іNце константа, яку ви фіксуєте, використовуючи той факт, що хвильову функцію слід нормалізувати. Рівняння дає рівні енергії, задані:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
ДеZось атомний номер (отжеZ= 1 для атома водню),eв цьому випадку це заряд електрона (а не константаe = 2.7182818...), ϵ0 - діелектрична проникність вільного простору, іμ- це зменшена маса, в основі якої лежать маси протона та електрона в атомі Гідрогену. Цей вираз підходить для будь-якого атома, подібного до водню, маючи на увазі будь-яку ситуацію (включаючи іони), коли один електрон обертається навколо центрального ядра.