Інтегрування функцій є одним із основних застосувань числення. Іноді це просто, як у:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
У порівняно складному прикладі цього типу ви можете використовувати версію основної формули для інтегрування невизначених інтегралів:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
деAіC.є константами.
Отже, для цього прикладу
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Інтеграція основних квадратних кореневих функцій
На поверхні інтегрувати функцію квадратного кореня незручно. Наприклад, вас можуть заважати:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Але ви можете виразити квадратний корінь як показник степеня, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Таким чином, інтеграл стає:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
до яких можна застосувати звичну формулу зверху:
\ початок {вирівнювання} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {вирівнено}
Інтеграція більш складних квадратних кореневих функцій
Іноді у вас може бути більше одного терміна під радикальним знаком, як у цьому прикладі:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Можна використовуватиu-заміни для продовження. Ось, ви встановилиuдорівнює кількості в знаменнику:
u = \ sqrt {x - 3}
Вирішити це дляхшляхом квадратування обох сторін і віднімання:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Це дозволяє отримати dx з точки зоруuвзявши похідну відх:
dx = (2u) du
Підставляючи назад у вихідний інтеграл, дає
\ begin {align} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {вирівняно}
Тепер ви можете інтегрувати це за допомогою основної формули та вираженняuз точки зорух:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ кінець {вирівняний}