Після того, як ви почнете робити тригонометрію та числення, у вас можуть виникнути такі вирази, як гріх (2θ), де вас попросять знайти значенняθ. Гра на спроби та помилки з діаграмами чи калькулятором, щоб знайти відповідь, варіюється від затяжного кошмару до абсолютно неможливого. На щастя, подвійні кутові ідентичності тут допоможуть. Це особливі випадки того, що називається складеною формулою, яка порушує функції форм (A + B) або (A – B) у функції простоAіB.
Двокутні тотожності для синуса
Існує три тотожності з подвійним кутом, по одній для функцій синуса, косинуса та тангенса. Але тотожність синуса та косинуса може бути записана різними способами. Ось два способи написання ідентичності подвійного кута для функції синуса:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двокутні тотожності для косинуса
Існує ще більше способів написання двокутової ідентичності для косинуса:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двокутова тотожність для дотичної
На щастя, є лише один спосіб записати ідентичність подвійного кута для дотичної функції:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Використання подвійних ідентичностей
Уявіть, що перед вами прямокутний трикутник, де ви знаєте довжину його сторін, але не міру його кутів. Вас попросили знайтиθ, деθє одним із кутів трикутника. Якщо гіпотенуза трикутника вимірює 10 одиниць, сторона, сусідня з вашим кутом, вимірює 6 одиниць а сторона, протилежна куту, вимірює 8 одиниць, неважливо, що ви не знаєте міриθ; Ви можете використовувати свої знання про синус і косинус, а також одну з формул подвійного кута, щоб знайти відповідь.
Вибравши кут, ви можете визначити синус як відношення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус як відношення сусідньої сторони до гіпотенузи. Отже, у щойно наведеному прикладі ви маєте:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Ви знайдете ці два вирази, оскільки вони є найважливішими будівельними елементами для формул з подвійним кутом.
Оскільки існує так багато формул з подвійним кутом на вибір, ви можете вибрати ту, яка виглядає простіше для обчислення і поверне потрібний тип інформації. У цьому випадку тому, що ти знаєш гріхθі cosθвже зрозуміло, що найзручнішим виразом є:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Ви вже знаєте значення sinθ та cosθ, тому підставте їх у рівняння:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Після спрощення ви отримаєте:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Більшість тригонометричних діаграм подано в десяткових крапках, тому наступною роботою ділення, представлене дробом, буде перетворено в десяткову форму. Тепер у вас є:
\ sin (2θ) = 0,96
Нарешті, знайдіть обернений синус або арксинус 0,96, який записаний як гріх −1(0.96). Або, іншими словами, використовуйте свій калькулятор або діаграму, щоб наблизити кут, який має синус 0,96. Як виявляється, це майже точно дорівнює 73,7 градусів. Отже 2θ= 73,7 градусів.
Розділіть кожну сторону рівняння на 2. Це дає вам:
θ = 36,85 \ текст {градусів}