Як пояснити різні типи доказів у геометрії

Погодьтеся: докази непрості. А в геометрії, здається, все погіршується, адже тепер доводиться перетворювати картинки на логічні твердження, роблячи висновки на основі простих малюнків. Різні типи доказів, які ви вивчаєте в школі, спочатку можуть бути приголомшливими. Але як тільки ви зрозумієте кожен тип, вам стане набагато легше обернути голову, коли і навіщо використовувати різні типи доказів у геометрії.

Прямий доказ працює як стріла. Ви починаєте з поданої інформації і спираєтесь на неї, рухаючись у напрямку гіпотези, яку хочете довести. Використовуючи прямий доказ, ви використовуєте умовиводи, правила з геометрії, визначення геометричних фігур та математичну логіку. Безпосереднє доведення є найбільш стандартним типом доведення та, для багатьох студентів, стилем доведення для розв’язування геометричної задачі. Наприклад, якщо ви знаєте, що точка C є середньою точкою прямої AB, ви можете довести, що AC = CB за допомогою використовуючи визначення середньої точки: Точка, яка падає на однакову відстань від кожного кінця лінії сегмент. Це відпрацьовує визначення середньої точки і вважається прямим доказом.

Непрямий доказ схожий на бумеранг; це дозволяє змінити проблему. Замість того, щоб просто обробляти подані вами твердження та форми, ви змінюєте проблему, беручи твердження, яке хочете довести, і припускаючи, що воно не відповідає дійсності. Звідти ви показуєте, що це не може бути неправдою, чого достатньо, щоб довести, що це правда. Хоча це звучить заплутано, це може спростити багато доказів, які здається важко довести безпосереднім доказом. Наприклад, уявіть, що у вас є горизонтальна лінія AC, яка проходить через точку B, а в точці B - це пряма, перпендикулярна AC з кінцевою точкою D, яка називається лінією BD. Якщо ви хочете довести, що міра кута ABD дорівнює 90 градусів, ви можете почати з того, що б це означало, якби міра ABD не була 90 градусів. Це призведе до двох неможливих висновків: AC і BD не перпендикулярні, а AC не пряма. Але обидва ці факти були викладені у проблемі, що є суперечливим. Цього достатньо, щоб довести, що ABD дорівнює 90 градусам.

Іноді ви зустрічаєтесь із проблемою, яка вимагає довести, що щось не відповідає дійсності. У такому випадку ви можете скористатися стартовою панеллю, щоб позбутися від необхідності безпосередньо вирішувати проблему, замість цього надайте контраприклад, який показує, що щось не відповідає дійсності. Коли ви використовуєте контраприклад, вам потрібен лише один хороший контраприклад, щоб довести свою думку, і доказ буде дійсним. Наприклад, якщо вам потрібно перевірити або визнати недійсним твердження «Усі трапеції - це паралелограми», вам потрібно навести лише один приклад трапеції, яка не є паралелограмом. Це можна зробити, намалювавши трапецію лише з двома паралельними сторонами. Існування фігури, яку ви щойно намалювали, спростувало б твердження "Усі трапеції - паралелограми".

Подібно до того, як геометрія - це візуальна математика, блок-схема або доказ потоку є візуальним типом доказу. Для перевірки потоку ви починаєте з того, що записуєте або малюєте всю інформацію, яку знаєте, поруч. Звідси робіть умовиводи, записуючи їх у рядку нижче. Роблячи це, ви “складаєте” свою інформацію, роблячи щось на зразок перевернутої піраміди. Ви використовуєте інформацію, яка вам потрібна, щоб робити більше висновків у рядках нижче, поки не дійдете до суті, одного твердження, яке доводить проблему. Наприклад, у вас може бути пряма L, яка перетинає точку P прямої MN, і запитання вимагає довести MP = PN, враховуючи, що L ділить MN на дві частини. Ви можете почати з написання наведеної інформації, написавши “L поділяє MN на P” вгорі. Під нею напишіть інформацію, яка випливає з поданої інформації: Бісекції виробляють два конгруентні відрізки лінії. Біля цього твердження напишіть геометричний факт, який допоможе вам дістатися до доказу; для цієї проблеми допомагає той факт, що відрізки конгруентних ліній однакові за довжиною. Напиши це. Під цими двома відомостями ви можете написати висновок, який, природно, випливає: MP = PN.