Якщо ви бачите вирази 32 та 53, ви можете з розквітом оголосити, що вони означають "три в квадраті" і "п'ять кубів", і мати можливість шукати еквівалентні числа без експоненти, числа, представлені верхніми індексами у верхньому правому куті. Ці цифри в цьому випадку 9 і 125.
Але що, як замість, скажімо, простої експоненціальної функції, такої як y = x 3, натомість вам потрібно розв’язати таке рівняння, як y = 3х. Тут х, залежна змінна, виступає як показник ступеня. Чи є спосіб витягнути цю змінну зі свого окуня, щоб легше впоратися з нею математично?
Насправді є, і відповідь полягає у природному доповненні показників, які є цікавими та корисними величинами, відомими як логарифми.
Що таке показники?
Ан показник степеня, також зване a потужність, - це стислий спосіб вираження багаторазового множення числа сам по собі. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Будь-яке число, підняте до рівня 1, зберігає однакове значення; будь-яке число з показником 0 дорівнює 1. Наприклад, 721 = 72; 720 = 1.
Показники можуть бути від’ємними, створюючи взаємозв’язок
х−n= 1 / (хп). Вони також можуть бути виражені дробами, наприклад, 2(5/3). Якщо виражати їх дробами, і чисельник, і знаменник повинні бути цілими числами.Що таке логарифми?
Логарифми, або "журнали", можна розглядати як показники, виражені як щось інше, ніж потужність. Це, мабуть, не дуже допомагає, тому, можливо, приклад чи два.
У виразі 103 = 1,000, число 10 - це база, і його піднімають на третю ступінь (або потужність три). Ви можете висловити це як: "основа 10, піднята до третього ступеня, дорівнює 1000".
Прикладом логарифму є журнал10(1,000) = 3. Зверніть увагу, що цифри та їх взаємозв'язок між собою такі ж, як і в попередньому прикладі, але їх переміщали. На словах, це означає, "основа журналу 10 з 1000 дорівнює 3."
Величина справа - це потужність, до якої потрібно підняти базу 10, щоб дорівнювати аргумент, або введення журналу, значення в дужках (у цьому випадку 1000). Це значення має бути позитивним, оскільки основа - яка може бути числом, відмінним від 10, але вважається рівним 10, якщо пропущено, наприклад, "журнал 4" - також завжди позитивна.
Корисні правила логарифму
Тож як можна легко працювати між журналами та експонентами? Кілька правил щодо поведінки журналів можуть допомогти вам розпочати роботу з експонентами.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Розв’язування показників
Отримавши вищевказану інформацію, ви готові спробувати розв’язати показник степеня у рівнянні.
Приклад: якщо 50 = 4х, що таке х?
Якщо ви перенесете журнал на базу 10 кожної сторони і пропустите явну ідентифікацію бази, це стане журналом 50 = журналом 4х. З вікна вище ви знаєте, що журнал 4х = х журнал 4. Це залишає вас з
log 50 = x log 4, або x = (log 50) / (log 4).
Використовуючи обраний вами калькулятор або електронний пристрій, ви виявляєте, що рішення (1.689 / 0.602) = 2.82.
Розв’язування експоненціальних рівнянь за допомогою e
Ті самі правила застосовуються, коли є база e, так звані натуральний логарифм, яке має значення близько 2,7183. Ви також повинні мати кнопку для цього на своєму калькуляторі. Це значення також отримує власні позначення: logex пишеться просто "ln x."
- Функція y = eх i, якщо e не змінна, а константа з цим значенням, є єдиною функцією з нахилом, рівним власній висоті для всіх x та y.
- Так само, як журнал1010х = x, ln eх = x для всіх x.
Приклад: Розв’яжіть рівняння 16 = е2,7x.
Як і вище, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, отже x = 2/77 / 2,7 = 1.03.