Якщо ви бачите вирази 32 та 53, ви можете з розквітом оголосити, що вони означають "три в квадраті" і "п'ять кубів", і мати можливість шукати еквівалентні числа без експоненти, числа, представлені верхніми індексами у верхньому правому куті. Ці цифри в цьому випадку 9 і 125.
Але що, як замість, скажімо, простої експоненціальної функції, такої як y = x 3, натомість вам потрібно розв’язати таке рівняння, як y = 3х. Тут х, залежна змінна, виступає як показник ступеня. Чи є спосіб витягнути цю змінну зі свого окуня, щоб легше впоратися з нею математично?
Насправді є, і відповідь полягає у природному доповненні показників, які є цікавими та корисними величинами, відомими як логарифми.
Що таке показники?
Ан показник степеня, також зване a потужність, - це стислий спосіб вираження багаторазового множення числа сам по собі. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Будь-яке число, підняте до рівня 1, зберігає однакове значення; будь-яке число з показником 0 дорівнює 1. Наприклад, 721 = 72; 720 = 1.
Показники можуть бути від’ємними, створюючи взаємозв’язок
Що таке логарифми?
Логарифми, або "журнали", можна розглядати як показники, виражені як щось інше, ніж потужність. Це, мабуть, не дуже допомагає, тому, можливо, приклад чи два.
У виразі 103 = 1,000, число 10 - це база, і його піднімають на третю ступінь (або потужність три). Ви можете висловити це як: "основа 10, піднята до третього ступеня, дорівнює 1000".
Прикладом логарифму є журнал10(1,000) = 3. Зверніть увагу, що цифри та їх взаємозв'язок між собою такі ж, як і в попередньому прикладі, але їх переміщали. На словах, це означає, "основа журналу 10 з 1000 дорівнює 3."
Величина справа - це потужність, до якої потрібно підняти базу 10, щоб дорівнювати аргумент, або введення журналу, значення в дужках (у цьому випадку 1000). Це значення має бути позитивним, оскільки основа - яка може бути числом, відмінним від 10, але вважається рівним 10, якщо пропущено, наприклад, "журнал 4" - також завжди позитивна.
Корисні правила логарифму
Тож як можна легко працювати між журналами та експонентами? Кілька правил щодо поведінки журналів можуть допомогти вам розпочати роботу з експонентами.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Розв’язування показників
Отримавши вищевказану інформацію, ви готові спробувати розв’язати показник степеня у рівнянні.
Приклад: якщо 50 = 4х, що таке х?
Якщо ви перенесете журнал на базу 10 кожної сторони і пропустите явну ідентифікацію бази, це стане журналом 50 = журналом 4х. З вікна вище ви знаєте, що журнал 4х = х журнал 4. Це залишає вас з
log 50 = x log 4, або x = (log 50) / (log 4).
Використовуючи обраний вами калькулятор або електронний пристрій, ви виявляєте, що рішення (1.689 / 0.602) = 2.82.
Розв’язування експоненціальних рівнянь за допомогою e
Ті самі правила застосовуються, коли є база e, так звані натуральний логарифм, яке має значення близько 2,7183. Ви також повинні мати кнопку для цього на своєму калькуляторі. Це значення також отримує власні позначення: logex пишеться просто "ln x."
- Функція y = eх i, якщо e не змінна, а константа з цим значенням, є єдиною функцією з нахилом, рівним власній висоті для всіх x та y.
- Так само, як журнал1010х = x, ln eх = x для всіх x.
Приклад: Розв’яжіть рівняння 16 = е2,7x.
Як і вище, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, отже x = 2/77 / 2,7 = 1.03.