Хоча англійські слова "послідовність" і "серія" мають схоже значення, в математиці це абсолютно різні поняття. Послідовність - це список чисел, розміщених у визначеному порядку, тоді як ряд - це сума такого списку чисел. Існує багато видів послідовностей, у тому числі на основі нескінченних списків чисел. Різні послідовності та відповідні серії мають різні властивості і можуть дати дивовижні результати.
TL; DR (занадто довгий; Не читав)
Послідовності - це списки чисел, розміщені у визначеному порядку відповідно до заданих правил. Ряд, що відповідає послідовності, є сумою чисел у цій послідовності. Серія може бути арифметичною, тобто існує фіксована різниця між числами серії, або геометричною, тобто існує фіксований коефіцієнт. Нескінченні серії не мають остаточного числа, але можуть мати фіксовану суму за певних умов.
Типи послідовностей та серій
Загальні послідовності бувають арифметичними або геометричними. В арифметичній послідовності кожне число або доданок послідовності відрізняється від попереднього доданка на однакову величину. Наприклад, якщо різниця арифметичної послідовності дорівнює 2, відповідна арифметична послідовність може бути 1, 3, 5... Якщо різниця дорівнює -3, послідовність може бути 4, 1, -2... Арифметична послідовність визначається стартовим числом та різницею.
Для геометричних послідовностей терміни відрізняються на коефіцієнт. Наприклад, послідовність з коефіцієнтом 2 може бути 2, 4, 8... а послідовність з коефіцієнтом 0,75 може бути 32, 24, 18... Геометрична послідовність визначається стартовим числом і коефіцієнтом.
Типи рядів залежать від послідовності, яка додається. Арифметичний ряд додає умови арифметичної послідовності, а геометричний ряд - геометричну послідовність.
Кінцеві та нескінченні послідовності та ряди
Послідовності та відповідні ряди можуть базуватися на фіксованій кількості доданків або нескінченному числі. Кінцева послідовність має вихідне число, різницю чи множник та фіксовану загальну кількість доданків. Наприклад, перша арифметична послідовність вище з вісьмома доданками буде 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Перша геометрична послідовність вище із шістьма членами буде 2, 4, 8, 16, 32, 64. Відповідний арифметичний ряд мав би значення 64, а геометричний ряд 126. Нескінченні послідовності не мають фіксованої кількості членів, і їх доданки можуть зростати до нескінченності, зменшуватися до нуля або наближатися до фіксованого значення. Відповідні ряди також можуть мати нескінченний, нульовий або фіксований результат.
Сходяться та розбіжні серії
Нескінченні ряди розходяться, якщо сума наближається до нескінченності із збільшенням кількості доданків. Нескінченний ряд збіжний, якщо його сума наближається до нескінченного значення, такого як нуль або інше фіксоване число. Ряди збіжні, якщо члени базової послідовності швидко наближаються до нуля.
Ряд, що додає доданки нескінченної послідовності 1, 2, 4... є розбіжним, оскільки умови послідовності постійно зростають, дозволяючи сумі досягати нескінченного значення зі збільшенням кількості членів. Серії 1, 0,5, 0,25... є конвергентним, оскільки терміни швидко стають дуже малими.
Хоча послідовності є впорядкованими списками чисел, а серії - це суми, обидва можуть бути важливими інструментами оцінюючи набори чисел, і властивості збіжності або розбіжності можуть мати реальне життя наслідки. Розбіжний ряд часто являє собою нестабільний стан, тоді як збіжний ряд часто означає, що процес або структура будуть стабільними.