Поруч із Суперкубком не за горами, спортсмени та вболівальники усього світу зосереджені на великій грі. Але для _math_letes велика гра може привести до розуму невелику проблему, пов’язану з можливими результатами у футбольній грі. Маючи лише обмежені можливості щодо кількості балів, яку ви можете набрати, деяких підсумків просто неможливо досягти, але що є найвищим? Якщо ви хочете знати, що пов’язує монети, футбол та курячі нагетси Макдональдса, це проблема для вас.
Проблема математики Super Bowl
Проблема пов'язана з можливими результатами, яких могли досягти "Лос-Анджелес Рамз" або "Нова Англія Патріоти" в неділю без сейф або двоточкове перетворення. Іншими словами, допустимими способами підвищення їхніх балів є 3-бальні польові голи та 7-точкові приземлення. Отже, без запобіжників ви не можете досягти 2 балів в грі за будь-якої комбінації 3-х та 7-х. Так само ви не можете досягти балу 4, а також не можете оцінити 5.
Питання в тому: Який найвищий бал не може бути досягнутим лише за допомогою 3-бальних польових цілей та 7-точкових приземлень?
Звичайно, тачдауни без конверсії вартують 6, але оскільки ви все одно можете досягти цього з двома польовими цілями, це не має значення для проблеми. Крім того, оскільки ми тут маємо справу з математикою, вам не доведеться турбуватися про тактику конкретної команди чи навіть про будь-які обмеження в їх здатності набирати очки.
Спробуйте вирішити це самостійно, перш ніж рухатись далі!
Пошук рішення (повільний шлях)
Ця задача має кілька складних математичних рішень (див. "Ресурси" для детальної інформації, але основний результат буде представлено нижче), але це хороший приклад того, як це не потрібні знайти відповідь.
Все, що вам потрібно зробити, щоб знайти грубу силу - це просто спробувати кожен з рахунків по черзі. Тож ми знаємо, що ви не можете забити 1 чи 2, оскільки вони менше 3. Ми вже встановили, що 4 та 5 неможливі, але 6 є, з двома польовими цілями. Після 7 (що можливо), чи можете ви набрати 8? Ні. Три польові голи дають 9, а польовий гол і перетворений приземлення - 10. Але ви не можете отримати 11.
Починаючи з цього моменту, невелика робота показує, що:
\ begin {вирівняно} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ кінець {вирівняний}
І насправді, ви можете продовжувати рухатися так довго скільки завгодно. Відповідь, схоже, 11. Але це так?
Алгебраїчне рішення
Математики називають ці проблеми "проблемами монет Фробеніуса". Оригінальна форма, пов’язана з монетами, наприклад: Якби у вас тільки оцінювали монети 4 центи та 11 центів (не справжні монети, але знову ж таки, це математичні проблеми для вас), яка найбільша сума грошей ви не могли б виробляти.
Рішення, з точки зору алгебри, полягає в тому, що один бал вартий стор балів і один бал вартістю q балів, найвищий бал, який ви не можете отримати (N) задається:
N = pq \; - \; (p + q)
Отже, підключення значень із проблеми Super Bowl дає:
\ begin {align} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ end {вирівняно}
Це відповідь, яку ми отримали повільним шляхом. Так що, якби ви могли набирати лише приземлення без конверсії (6 балів) і приземлення з одноточковими перетвореннями (7 балів)? Подивіться, чи можете ви використовувати формулу, щоб її опрацювати, перш ніж читати далі.
У цьому випадку формула стає:
\ begin {align} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ кінець {вирівняний}
Проблема курки Мак-Наггет
Отже, гра закінчена, і ви хочете нагородити команду-переможця поїздкою в Макдональдс. Але вони продають McNuggets лише в коробках по 9 або 20. Отже, яка найбільша кількість самородків у вас не може купувати з цими (застарілими) номерами ящиків? Спробуйте скористатися формулою, щоб знайти відповідь, перш ніж читати далі.
Оскільки
N = pq \; - \; (p + q)
І с стор = 9 і q = 20:
\ begin {align} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ кінець {вирівняний}
Отже, за умови, що ви придбали більше 151 самородків - команда-переможець, мабуть, зрештою буде зголодніла - ви можете придбати будь-яку кількість самородків, яку хочете, за допомогою якої-небудь комбінації коробок.
Можливо, вам цікаво, чому ми розглянули лише двоцифрові версії цієї проблеми. Що робити, якщо ми включимо безпеку або якщо McDonalds продасть три розміри самородкових коробок? є немає чіткої формули у цьому випадку, і хоча більшість його версій можна вирішити, деякі аспекти питання повністю не вирішені.
Тож, можливо, коли ви спостерігаєте за грою або їсте шматочки курки розміром з укус, ви можете стверджувати, що намагаєтесь вирішити відкриту задачу з математики - варто спробувати вийти з домашніх справ!