Уявіть, ви використовуєте гармати, маючи на меті зруйнувати стіни ворожого замку, щоб ваша армія могла штурмувати і претендувати на перемогу. Якщо ви знаєте, з якою швидкістю рухається куля, коли вона залишає гармату, і знаєте, наскільки далеко від стін, який кут запуску вам потрібен, щоб вести вогонь із гармати, щоб успішно вдарити об стіни?
Це приклад проблеми руху снаряда, і ви можете вирішити цю та багато подібних задач, використовуючи рівняння постійного прискорення кінематики та деякі основні алгебри.
Рух снарядатак фізики описують двовимірний рух, коли єдиним прискоренням, про яке йдеться у досліджуваному об’єкті, є постійне прискорення донизу завдяки силі тяжіння.
На поверхні Землі постійне прискоренняадорівнюєg= 9,8 м / с2, а об’єкт, що рухається снарядом, знаходиться всерединівільне падінняз цим як єдиним джерелом прискорення. У більшості випадків він пройде шлях параболи, тому рух матиме як горизонтальну, так і вертикальну складову. Хоча це мало б (обмежений) ефект у реальному житті, на щастя, більшість проблем руху снарядів з фізики середньої школи ігнорують вплив опору повітря.
Ви можете вирішити завдання руху снаряда, використовуючи значенняgта деяка інша основна інформація про ситуацію, що склалася, така як початкова швидкість снаряда та напрямок, в якому він рухається. Навчання вирішенню цих проблем є важливим для проходження більшості вступних уроків фізики, і воно знайомить вас з найважливішими поняттями та техніками, які вам також знадобляться на пізніших курсах.
Рівняння руху снаряда
Рівняння руху снаряда - це рівняння постійного прискорення з кінематики, оскільки прискорення сили тяжіння є єдиним джерелом прискорення, яке потрібно враховувати. Чотири основні рівняння, які вам знадобляться для вирішення будь-якої задачі руху снаряду, є:
v = v_0 + на \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} на ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 як
Ось,vозначає швидкість,v0 - початкова швидкість,а- це прискорення (яке дорівнює прискоренню внизgу всіх проблемах руху снаряда),s- це зміщення (з початкового положення), і як завжди у вас є час,т.
Ці рівняння технічно стосуються лише одного виміру, і насправді вони можуть бути представлені векторними величинами (включаючи швидкістьv, початкова швидкістьv0 і так далі), але на практиці ви можете просто використовувати ці версії окремо, раз ух-напрямок і один раз вр-напрямок (і якщо у вас коли-небудь виникала тривимірна проблема, уz-напрямок теж).
Важливо пам’ятати, що це таквикористовується тільки для постійного прискорення, що робить їх ідеальними для опису ситуацій, коли вплив гравітації є єдиним прискорення, але непридатне для багатьох реальних ситуацій, коли потрібні додаткові сили розглядається.
Для базових ситуацій це все, що вам знадобиться для опису руху об’єкта, але при необхідності ви можете включити інші такі фактори, як висота, з якої був запущений снаряд, або навіть вирішити їх для найвищої точки снаряда на його шлях.
Розв’язування задач руху снаряда
Тепер, коли ви побачили чотири версії формули руху снаряда, якими вам потрібно буде скористатися вирішуючи проблеми, ви можете почати думати про стратегію, яку ви використовуєте для розв’язання руху снаряда проблема.
Основний підхід полягає в розділенні проблеми на дві частини: одну для горизонтального руху та одну для вертикального руху. Це технічно називається горизонтальним компонентом і вертикальним компонентом, і кожен має відповідний набір величини, такі як горизонтальна швидкість, вертикальна швидкість, горизонтальне переміщення, вертикальне переміщення та так далі.
За такого підходу ви можете використовувати рівняння кінематики, зазначивши той частоднаковий як для горизонтальних, так і для вертикальних компонентів, але такі речі, як початкова швидкість, матимуть різні компоненти для початкової вертикальної швидкості та початкової горизонтальної швидкості.
Найважливіше, що слід зрозуміти, це те, що для двовимірного рухубудь-якийКут руху можна розбити на горизонтальну і вертикальну складові, але коли якщо ви зробите це, буде одна горизонтальна версія рівняння, про яку йдеться, та одна вертикальна версія.
Нехтування ефектом опору повітря значно спрощує проблеми руху снаряда, оскільки горизонтальний напрямок ніколи не має прискорення в задачі руху снаряда (вільне падіння), оскільки вплив сили тяжіння діє лише вертикально (тобто, до поверхні Земля).
Це означає, що горизонтальна складова швидкості - це просто постійна швидкість, і рух зупиняється лише тоді, коли гравітація опускає снаряд на рівень землі. Це можна використовувати для визначення часу польоту, оскільки це цілком залежить відр-напрямлений рух і може бути опрацьований повністю на основі вертикального переміщення (тобто часутколи вертикальний зсув дорівнює нулю, вказує час польоту).
Тригонометрія в задачах руху снаряда
Якщо проблема, про яку йдеться, дає вам кут запуску та початкову швидкість, вам потрібно буде використовувати тригонометрію для пошуку горизонтальної та вертикальної складових швидкості. Після цього ви можете використати методи, описані в попередньому розділі, щоб фактично вирішити проблему.
По суті, ви створюєте прямокутний трикутник з нахиленою під кутом запуску гіпотенузою (θ) і величину швидкості як довжину, тоді сусідня сторона є горизонтальною складовою швидкості, а протилежна сторона - вертикальною швидкістю.
Намалюйте прямокутний трикутник за вказівкою, і ви побачите, що ви знаходите горизонтальну та вертикальну складові за допомогою тригонометричних тотожностей:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {суміжний}} {\ text {гіпотенуза}}
\ text {гріх} \; θ = \ frac {\ text {навпроти}} {\ text {гіпотенуза}}
Тож їх можна переставити (і з протилежним =vр та сусідні =vх, тобто вертикальна складова швидкості та горизонтальна складові швидкості відповідно, а гіпотенуза =v0, початкова швидкість), щоб отримати:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Це вся тригонометрія, яку вам потрібно буде виконати для вирішення проблем руху снаряда: підключення кута запуску до рівняння, використовуючи на вашому калькуляторі функції синуса та косинуса, помножуючи результат на початкову швидкість снаряд.
Отже, щоб пройти приклад цього, з початковою швидкістю 20 м / с та кутом запуску 60 градусів, компоненти:
\ begin {align} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ текст {м / с} \ кінець {вирівняний}
Приклад проблеми руху снаряда: феєрверк, що вибухає
Уявіть, феєрверк має запобіжник, спроектований таким чином, що він вибухає у найвищій точці своєї траєкторії, і він запускається з початковою швидкістю 60 м / с під кутом 70 градусів до горизонталі.
Як би ви визначили, якої висотиhвін вибухає в? І яким би був час від запуску, коли він вибухне?
Це одна з багатьох проблем, що стосуються максимальної висоти снаряда, і фокус їх вирішення полягає в тому, що на максимальній висотір-компонент швидкості становить 0 м / с на мить. Підключивши це значення дляvр і вибравши найбільш відповідне з кінематичних рівнянь, ви можете легко вирішити цю та будь-яку подібну проблему.
Спочатку, дивлячись на кінематичні рівняння, це вискакує (з доданими індексами, які показують, що ми працюємо у вертикальному напрямку):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Це рівняння ідеально, оскільки ви вже знаєте прискорення (ар = -g), початкова швидкість і кут запуску (так що ви можете опрацювати вертикальну складовуvy0). Оскільки ми шукаємо значенняsр (тобто висотаh) колиvр = 0, ми можемо підставити нульову кінцеву складову вертикальної швидкості і перекомпонуватиsр:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Оскільки є сенс називати висхідний напрямокр, а так як прискорення за рахунок сили тяжінняgспрямована вниз (тобто в -рнапрямок), ми можемо змінитиар для -g. Нарешті, зателефонувавшиsр висотаh, ми можемо написати:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Отже, єдине, що вам потрібно розробити для вирішення проблеми, - це вертикальна складова початкової швидкості, яку ви можете зробити, використовуючи тригонометричний підхід з попереднього розділу. Отже, з інформацією із запитання (60 м / с і 70 градусів до горизонтального запуску) це дає:
\ begin {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
Тепер ви можете вирішити для максимальної висоти:
\ begin {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {align}
Тож феєрверк вибухне приблизно на 162 метрах від землі.
Продовжуючи приклад: Час польоту та пройдена відстань
Після розв’язання основ задачі руху снаряда, заснованої виключно на вертикальному русі, решту задач можна легко вирішити. Перш за все, час від запуску вибуху запобіжника можна знайти за допомогою одного з інших рівнянь постійного прискорення. Переглядаючи варіанти, наведено такий вираз:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
має част, це те, що ви хочете знати; переміщення, яке ви знаєте для максимальної точки польоту; початкова вертикальна швидкість; і швидкість у момент максимальної висоти (яка, як ми знаємо, дорівнює нулю). Отже, виходячи з цього, рівняння можна змінити, щоб отримати вираз для часу польоту:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Тож вставляємо значення і вирішуємо длятдає:
\ begin {align} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {align}
Тож феєрверк вибухне через 5,75 секунди після запуску.
Нарешті, ви можете легко визначити пройдену горизонтальну відстань, виходячи з першого рівняння, яке (у горизонтальному напрямку) говорить:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Однак, зазначивши, що прискорення вх-напрямок, це просто:
v_x = v_ {0x}
Це означає, що швидкість вхнапрямок руху однаковий протягом усієї подорожі феєрверком. Враховуючи цеv = d/т, деdце пройдена відстань, це легко переконатисяd = vt, і так у цьому випадку (зsх = d):
s_x = v_ {0x} t
Тож можна замінитиv0x з тригонометричним виразом з попереднього, введіть значення та вирішіть:
\ begin {align} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {align}
Тож він пройде близько 118 м до вибуху.
Додаткова проблема руху снаряда: Феєрверк Dud
Для додаткової проблеми, над якою можна працювати, уявіть феєрверк з попереднього прикладу (початкова швидкість 60 м / с, запущена при 70 градусах до горизонталі) не вдалося вибухнути на піку параболи, а натомість приземлився на землю не вибухнув. Чи можете ви розрахувати загальний час польоту в цьому випадку? Як далеко від місця запуску в горизонтальному напрямку він приземлиться, або іншими словами, що такедіапазонснаряда?
Ця проблема працює в основному однаково, де вертикальні складові швидкості та переміщення основні речі, які потрібно врахувати, щоб визначити час польоту, і з цього ви можете визначити діапазон. Замість того, щоб детально розглядати рішення, ви можете вирішити це самостійно на основі попереднього прикладу.
Існують формули для дальності снаряда, яку ви можете переглянути або отримати з рівнянь постійного прискорення, але це не так дійсно потрібно, тому що ви вже знаєте максимальну висоту снаряда, і з цього моменту це просто вільне падіння під впливом сила тяжіння.
Це означає, що ви можете визначити час, який займає феєрверк, щоб впасти назад на землю, а потім додати це до часу польоту до максимальної висоти, щоб визначити загальний час польоту. Відтоді це той самий процес використання постійної швидкості в горизонтальному напрямку поряд з часом польоту для визначення дальності.
Покажіть, що час польоту становить 11,5 секунди, а дальність - 236 м, зазначивши, що вам потрібно буде обчислити вертикальну складову швидкості в точці, в яку вона потрапляє на землю як проміжний крок.