Вектори та скаляри: що це і чому вони важливі?

У повсякденному житті більшість людей використовують ці термінишвидкістьішвидкістьвзаємозамінні, але для фізиків вони є прикладами двох дуже різних типів величин.

Проблеми з механікою мають справу з рухом предметів, і хоча ви можете просто описати рух з точки зору швидкості, конкретний напрямок, в якому щось рухається, часто є критично важливим.

Подібним чином сили, що застосовуються до об'єктів, можуть надходити з різних напрямків - подумайте, наприклад, про те, як тягне перетягування канату протилежні сили - так фізики, що описують подібні ситуації, повинні використовувати величини, що описують як "розмір" таких речей, як сили, так і напрямок, в якому вони діяти. Ці величини називаютьсявектори​.

TL; ДР (занадто довгий; Не читав)

Вектор має як величину, так і певний напрямок, але скалярна величина має лише величину.

Ключова різниця між векторами та скалярами полягає в тому, що величина вектора не повністю його описує; також має бути вказаний напрямок.

Напрямок вектора можна вказати різними способами, будь то через позитивні чи негативні знаки перед ним, виражаючи його у вигляді компонентів (скалярні значення поруч із відповідними

Навпаки, скаляр - це просто величина вектора без будь-яких додаткових позначень чи інформації - наприклад, швидкість є скалярним еквівалентом вектора швидкості. З математичної точки зору це абсолютне значення вектора.

Однак багато величин, таких як енергія, тиск, довжина, маса, потужність і температура, є прикладами скалярів, які є не просто величиною відповідного вектора. Не потрібно знати “напрямок” маси, наприклад, щоб мати повне уявлення про неї як про фізичну властивість.

Є кілька протилежних фактів, які ви можете зрозуміти, коли знаєте різницю між скаляром і вектор, такий як думка, що щось може мати постійну швидкість, але постійно змінюватися швидкість. Уявіть, як машина їде з постійною швидкістю 10 км / год, але по колу. Оскільки напрямок вектора є частиною його визначення, вектор швидкості автомобіля завжди є змінюється в цьому прикладі, незважаючи на те, що величина вектора (тобто його швидкість) дорівнює постійний.

У фізиці існує безліч прикладів векторів, але найбільш відомими прикладами є сила, імпульс, прискорення та швидкість, які всі мають сильну роль у класичній фізиці. Вектор швидкості може відображатися як 25 м / с на схід, −8 км / год ур-напрямок,​v​= 5 м / сi+ 10 м / сj, або 10 м / с у напрямку 50 градусів відх-вісь.

Вектори імпульсу - ще один приклад, за допомогою якого можна побачити, як величина та напрямок вектора відображаються у фізиці. Вони працюють так само, як приклади з векторами швидкості, з 50 кг м / с на захід, −12 км / год уzнапрямок,​стор​= 12 кг м / сi- 10 кг м / сj- 15 кг м / сkі 100 кг м / с за 30 градусів відх-ось є прикладами того, як їх можна відображати. Ті ж основні точки стосуються відображення векторів прискорення, з тією лише різницею, що становить одиницю м / с² і загальновживаний символ для вектора,​а​​.

Сила є остаточним одним із цих прикладів векторних виразів, і хоча існує багато подібностей, використовуючи циліндричні координати (р​, ​θ​, ​z) замість декартових координат може допомогти показати інші способи їх відображення. Наприклад, ви можете написати силу як​F​= 10 Нр+ 35 н𝛉, для сили з компонентами в радіальному напрямку та азимутальному напрямку, або опишіть силу тяжіння на 1-кг об’єкт на Землі як 10 Н в -рнапрямку (тобто до центру планети).

На діаграмах вектори відображаються за допомогою стрілок, з величиною вектора, представленою довжиною стрілки, і його напрям, представлений напрямком, в який вказує стрілка. Наприклад, більша стрілка показує, що сила більша (тобто більше ньютонів або більша величина), ніж інша сила.

Для вектора, який показує рух, наприклад імпульсу або вектора швидкості,нульовий вектор(тобто вектор, що не відображає швидкості та імпульсу) відображається за допомогою однієї крапки.

Варто зазначити, що оскільки довжина стрілки відображає величину вектора, а її орієнтація - напрямок вектора. Корисно намагатися бути досить точним при складанні векторної діаграми. Це не повинно бути ідеально, але якщо вектор​а​вдвічі більший за вектор​b​, стрілка повинна бути приблизно вдвічі довшою.

Складання та віднімання векторів дещо складніше, ніж додавання та віднімання скалярів, але ви можете легко підібрати поняття. Є два основні підходи, якими ви можете скористатись, і кожен із них має потенційне застосування залежно від конкретної проблеми, з якою ви вирішуєте.

Перший і найпростіший у використанні, коли вам дали два вектори у формі компонентів, - це просто додати відповідні компоненти так само, як і звичайні скаляри. Наприклад, якщо вам потрібно було додати дві сили​F​​₁ = 5 Нi+ 10 нjі​F​​₂ = 6 Нi+ 15 нj+ 10 нk, ви б додалиiкомпоненти, потімjкомпоненти і, нарешті,kтакі компоненти:

Векторне віднімання працює точно так само, за винятком того, що ви віднімаєте кількості, а не додаєте їх. Складання вектора також є комутативним, як звичайне додавання з дійсними числами, так​а ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​а​​.

Ви також можете виконати додавання векторів за допомогою діаграм стрілок, проклавши векторні стрілки головою до хвоста, а потім малювання нової векторної стрілки для суми векторів, що з'єднують хвіст першої стрілки з головкою друге.

Якщо у вас є просте векторне додавання з одним ух-напрямок та інший ур-напрямок, діаграма утворює прямокутний трикутник. Ви можете завершити додавання вектора та визначити величину та напрямок результуючого вектора, “розв’язавши” трикутник за допомогою тригонометрії та теореми Піфагора.

Множення векторів дещо складніше, ніж скалярне множення для дійсних чисел, але двома основними формами множення є точковий добуток та поперечний добуток. Точковий добуток називається скалярним добутком і визначається як:

або

деθ- кут між двома векторами, а індекси 1, 2 і 3 представляють перший, другий і третій компоненти вектора. Результатом точкового добутку є скаляр.

Перехресний продукт визначається як:

з комами, що розділяють компоненти результату в різних напрямках.