Більшість людей знають про збереження енергії. У двох словах, це говорить про те, що енергія зберігається; він не створений і не знищений, а просто змінюється від однієї форми до іншої.
Тож якщо ви тримаєте м’яч повністю нерухомо, на два метри над землею, а потім відпускаєте його, звідки береться енергія, яку він отримує? Як щось може все-таки отримати стільки кінетичної енергії, поки не впаде на землю?
Відповідь полягає в тому, що нерухома куля має форму накопиченої енергії, яку називаютьгравітаційна потенційна енергія, або скорочено GPE. Це одна з найважливіших форм накопиченої енергії, з якою школяр зіткнеться у фізиці.
GPE - це форма механічної енергії, спричинена висотою об’єкта над поверхнею Землі (або, будь-яким іншим джерелом гравітаційного поля). Будь-який об’єкт, який не знаходиться в точці найнижчої енергії в такій системі, має деяку гравітаційну потенційну енергію і якщо випущений (тобто, йому дозволяється вільно падати), він буде прискорюватися до центру гравітаційного поля, поки щось не стане зупиняє це.
Хоча процес пошуку гравітаційної потенційної енергії об'єкта цілком прямо математично, концепція надзвичайно корисна, коли справа доходить до обчислення інші кількості. Наприклад, вивчення поняття GPE дозволяє по-справжньому легко розрахувати кінетичну енергію та кінцеву швидкість падіння об’єкта.
Визначення гравітаційної потенційної енергії
GPE залежить від двох ключових факторів: положення об’єкта щодо гравітаційного поля та маси об’єкта. Центр маси тіла, що створює гравітаційне поле (на Землі, центр планети), є найнижчою енергетичною точкою в полі (хоча на практиці фактичне тіло зупинить падіння до цієї точки, як це робить поверхня Землі), і чим далі від цієї точки знаходиться об'єкт, тим більше у нього накопиченої енергії завдяки його положення. Кількість накопиченої енергії також збільшується, якщо об'єкт більш масивний.
Ви можете зрозуміти основне визначення гравітаційної потенційної енергії, якщо думаєте про книгу, яка лежить на полиці. Книга може впасти на підлогу через її піднесене положення відносно землі, але таке, що починається на підлогу не може впасти, бо це вже на поверхні: книга на полиці має GPE, але та, що на землі ні.
Інтуїція також підкаже вам, що книга, яка вдвічі товстіша, зробить удвічі більший стукіт, коли впаде об землю; це пов’язано з тим, що маса об’єкта прямо пропорційна кількості гравітаційної потенційної енергії, яку має об’єкт.
Формула GPE
Формула гравітаційної потенційної енергії (GPE) насправді проста, і вона стосується масим, прискорення через земне тяжінняg) і висоту над поверхнею Земліhдо накопиченої енергії завдяки силі тяжіння:
GPE = mgh
Як це звично у фізиці, існує безліч різних потенційних символів для гравітаційної потенційної енергії, в тому числіUg, PEграв і інші. GPE є мірою енергії, тому результатом цього розрахунку буде значення в джоулях (J).
Прискорення через земне тяжіння має (приблизно) постійне значення в будь-якій точці поверхні і вказує безпосередньо на центр маси планети: g = 9,81 м / с2. Враховуючи це постійне значення, єдине, що вам потрібно для розрахунку GPE - це маса об’єкта та висота об’єкта над поверхнею.
Приклади розрахунку GPE
То що ви робите, якщо вам потрібно підрахувати, скільки гравітаційної потенційної енергії має об’єкт? По суті, ви можете просто визначити висоту об’єкта, виходячи з простої контрольної точки (земля зазвичай працює чудово) і помножити це на його масумі константа земної гравітаціїgзнайти GPE.
Наприклад, уявіть собі 10-кілограмову масу, підвішену на шкірі на висоті 5 метрів над землею. Скільки в ньому гравітаційної потенційної енергії?
Використання рівняння та підстановка відомих значень дає:
\ begin {align} GPE & = mgh \\ & = 10 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 5 \; \ text {m} \\ & = 490,5 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
Однак, якщо ви задумувались над цією концепцією, читаючи цю статтю, ви могли б розглянути цікаве питання: якщо гравітаційний потенціал енергія об'єкта на Землі справді дорівнює нулю, якщо вона знаходиться в центрі маси (тобто всередині ядра Землі), чому ви обчислюєте її так, ніби поверхня Земля єh = 0?
Правда полягає в тому, що вибір «нульової» точки для висоти є довільним, і зазвичай це робиться для спрощення проблеми. Кожного разу, коли ви розраховуєте GPE, вас насправді більше турбує гравітаційна потенційна енергіязміниа не будь-який абсолютний показник накопиченої енергії.
По суті, неважливо, вирішили ви зателефонувати за стільницюh= 0, а не поверхню Землі, тому що ви завждинасправдіговорять про зміни потенційної енергії, пов’язані зі зміною висоти.
Тоді подумайте, хтось піднімає 1,5-кілограмовий підручник з фізики з поверхні письмового столу, піднімаючи його на 50 см (тобто 0,5 м) над поверхнею. Яка гравітаційна зміна потенціальної енергії (позначається ∆GPE) для книги, як її піднімають?
Фокус, звичайно, полягає в тому, щоб назвати таблицю базовою точкою висотоюh= 0, або еквівалентно, щоб врахувати зміну висоти (∆h) з початкового положення. У будь-якому випадку ви отримуєте:
\ begin {align} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 1,5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 0,5 \; \ text {m} \\ & = 7.36 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
Поміщення "G" в GPE
Точне значення гравітаційного прискоренняgв рівнянні GPE має великий вплив на гравітаційну потенційну енергію об'єкта, що знаходиться на певній відстані над джерелом гравітаційного поля. Наприклад, на поверхні Марса значенняgприблизно в три рази менше, ніж на поверхні Землі, тож якщо ви піднімаєте той самий предмет так само відстань від поверхні Марса, вона мала б приблизно втричі менше накопиченої енергії, ніж на Земля.
Подібним чином, хоча ви можете наблизити значенняgяк 9,81 м / с2 по всій поверхні Землі на рівні моря вона насправді менша, якщо відійти на значну відстань від поверхні. Наприклад, якщо ви були на вершині гори. Еверест, який піднімається на 8 848 м (8 848 км) над поверхнею Землі, будучи настільки далеко від центру маси планети, зменшив би значенняgзлегка, щоб ви малиg= 9,79 м / с2 на піку.
Якби ви успішно піднялися на гору і підняли 2-кілограмову масу на 2 м від вершини гори у повітря, якою була б зміна GPE?
Як обчислення GPE на іншій планеті з іншим значеннямg, ви просто вводите значення дляgщо відповідає ситуації і пройти той самий процес, що і вище:
\ begin {align} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,79 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,16 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
На рівні моря на Землі, сg= 9,81 м / с2, підняття тієї ж маси змінило б GPE на:
\ begin {align} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,24 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
Це не величезна різниця, але це чітко показує, що висота впливає на зміну GPE, коли ви виконуєте той самий підйомний рух. А на поверхні Марса, деg= 3,75 м / с2 це було б:
\ begin {align} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 15 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
Як бачите, значенняgдуже важливо для результату, який ви отримаєте. Здійснюючи той самий підйомний рух у глибокому космосі, далеко від будь-якого впливу сили тяжіння, по суті не було б змін у гравітаційній потенційній енергії.
Пошук кінетичної енергії за допомогою GPE
Збереження енергії може бути використано поряд із концепцією GPE для спрощеннябагаторозрахунки у фізиці. Коротше кажучи, під впливом «консервативної» сили загальна енергія (включаючи кінетичну енергію, потенціальну гравітаційну енергію та всі інші форми енергії) зберігається.
Консервативна сила - це сила, при якій обсяг роботи, що виконується проти сили для переміщення об’єкта між двома точками, не залежить від пройденого шляху. Отже, гравітація консервативна, оскільки підняття об’єкта з контрольної точки на висотуhзмінює гравітаційну потенційну енергію наmgh, але не має значення, переміщаєте ви його у S-подібному контурі чи по прямій - це завжди просто змінюєтьсяmgh.
А тепер уявіть ситуацію, коли ви скидаєте м’яч 500 г (0,5 кг) з висоти 15 метрів. Ігноруючи ефект опору повітря і припускаючи, що він не обертається під час падіння, скільки кінетичної енергії матиме куля в той момент, перш ніж вона контактує з землею?
Ключовим для цієї проблеми є той факт, що загальна енергія зберігається, тому вся кінетична енергія походить від GPE, а отже, кінетична енергіяЕk при максимальному значенні має дорівнювати GPE при максимальному значенні, абоGPE = Еk. Тож ви можете легко вирішити проблему:
\ begin {align} E_k & = GPE \\ & = mgh \\ & = 0,5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 15 \; \ text {m} \\ & = 73,58 \; \ текст {J} \ кінець {вирівняний}
Пошук остаточної швидкості за допомогою GPE та збереження енергії
Збереження енергії також спрощує багато інших розрахунків, що включають гравітаційну потенційну енергію. Подумайте про кульку з попереднього прикладу: тепер, коли ви знаєте загальну кінетичну енергію на основі її гравітації потенційна енергія у найвищій точці, якою є остаточна швидкість кульки в момент, коли вона потрапляє на Землю поверхня? Ви можете це розробити на основі стандартного рівняння для кінетичної енергії:
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Зі значеннямЕk відомо, ви можете переставити рівняння і вирішити швидкістьv:
\ begin {align} v & = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} \\ & = \ sqrt {\ frac {2 × 73,575 \; \ text {J}} {0,5 \; \ text {kg}} } \\ & = 17,16 \; \ текст {м / с} \ кінець {вирівняний}
Однак ви можете використовувати збереження енергії, щоб отримати рівняння, яке стосуєтьсябудь-якийпадаючий предмет, попередньо зазначивши, що в таких ситуаціях-,GPE = ∆Еk, і так:
mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Скасуваннямз обох сторін і перестановка дає:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2 \\ \ text {Тому} \; v = \ sqrt {2gh}
Зверніть увагу, що це рівняння показує, що, ігноруючи опір повітря, маса не впливає на кінцеву швидкістьv, отже, якщо ви впустите будь-які два предмети з однакової висоти, вони впадуть об землю точно в той самий час і впадуть з однаковою швидкістю. Ви також можете перевірити результат, отриманий за допомогою більш простого двохетапного методу, і показати, що це нове рівняння справді дає той самий результат із правильними одиницями виміру.
Виведення позаземних цінностейgВикористання GPE
Нарешті, попереднє рівняння також дає вам спосіб обчисленняgна інших планетах. Уявіть, що ви впустили 0,5-кілограмову кульку з 10 м над поверхню Марса і записали кінцеву швидкість (безпосередньо перед тим, як вона потрапила на поверхню) 8,66 м / с. У чому цінністьgна Марсі?
Починаючи з більш ранньої стадії переупорядкування:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2
Ви бачите, що:
\ begin {align} g & = \ frac {v ^ 2} {2h} \\ & = \ frac {(8.66 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 10 \; \ text {m }} \\ & = 3,75 \; \ текст {м / с} ^ 2 \ кінець {вирівняний}
Збереження енергії у поєднанні з рівняннями для гравітаційної потенційної енергії та кінетичної енергії маєбагатовикористання, і коли ви звикнете експлуатувати стосунки, ви зможете легко розв’язувати величезний спектр класичної фізики.