У повсякденному дискурсі "швидкість" і "швидкість" часто використовуються як взаємозамінні. Однак у фізиці ці терміни мають конкретні та чіткі значення. "Швидкість" - це швидкість переміщення об'єкта в просторі, і вона дається лише числом із конкретними одиницями (часто в метрах на секунду або милях на годину). З іншого боку, швидкість - це швидкість, пов'язана з напрямком. Тоді швидкість називають скалярною величиною, тоді як швидкість є векторною величиною.
Коли автомобіль рухається по шосе або бейсбол свистить по повітрю, швидкість цих об’єктів вимірюється відносно землі, тоді як швидкість включає більше інформації. Наприклад, якщо ви сидите в машині, що їде швидкістю 70 миль на годину по міждержавній трасі 95 на східному узбережжі Сполученим Штатам, також корисно знати, рухається воно на північний схід до Бостона чи на південь до Флорида. З бейсболом вам може знадобитися знати, чи змінюється його координата y швидше, ніж координата x (муха), чи вірно зворотне (лінійний привід). Але як щодо обертання шин або обертання (обертання) бейсболу, коли машина та м’яч рухаються до свого кінцевого пункту призначення? Для такого роду питань фізика пропонує поняття
кутова швидкість.Основи руху
Речі рухаються через тривимірний фізичний простір двома основними способами: перекладом та обертанням. Переклад - це переміщення всього об’єкта з одного місця в інше, як машина, що їде з Нью-Йорка в Лос-Анджелес. З іншого боку, обертання - це циклічний рух об’єкта навколо нерухомої точки. Багато об’єктів, наприклад, бейсбол у наведеному вище прикладі, демонструють обидва типи руху одночасно; коли куля-муха рухається по повітрю від домашньої плити до зовнішньої огорожі, вона також обертається із заданою швидкістю навколо власного центру.
Опис цих двох видів руху трактується як окрема фізична проблема; тобто при обчисленні відстані, яку куля проходить по повітрю, виходячи з таких речей, як початковий кут запуску та швидкість, з якою він залишає кажана, ви можете ігнорувати його обертання, і при обчисленні його обертання ви можете поводитися з ним як сидячи на одному місці цілі.
Рівняння кутової швидкості
По-перше, коли ви говорите про "кутовий" що-небудь, будь то швидкість або якась інша фізична величина, визнайте, що, маючи справу з кутами, ви говорите про подорожі колами чи частинами цього. Ви можете згадати з геометрії або тригонометрії, що окружність кола дорівнює його діаметру, помноженому на постійну pi, абоπd. (Значення pi становить приблизно 3,14159.) Це частіше виражається через радіус колар, що становить половину діаметра, складаючи окружність2πr.
Крім того, ви, мабуть, десь у дорозі дізналися, що коло складається з 360 градусів (360 °). Якщо перемістити відстань S по колу, то кутовий зсув θ дорівнює S / r. Тоді один повний оберт дає 2πr / r, що залишає 2π. Це означає, що кути менше 360 ° можуть бути виражені через пі, або іншими словами, як радіани.
Беручи всі ці частини інформації разом, ви можете виразити кути або частини кола в одиницях, відмінних від градусів:
360 ^ o = (2 \ pi) \ text {радіани, або} 1 \ text {радіан} = \ frac {360 ^ o} {2 \ pi} = 57,3 ^ o
Тоді як лінійна швидкість виражається в довжині за одиницю часу, кутова швидкість вимірюється в радіанах за одиницю часу, зазвичай в секунду.
Якщо ви знаєте, що частинка рухається круговим шляхом зі швидкістюvна відстанірвід центру кола, з напрямкомvзавжди перпендикулярний радіусу кола, тоді кутову швидкість можна записати
\ omega = \ frac {v} {r}
деω- грецька буква омега. Одиницями кутової швидкості є радіани в секунду; ви також можете розглядати цей пристрій як "зворотні секунди", оскільки v / r дає m / s, поділене на m або s-1, що означає, що радіани є технічно безрозмірною величиною.
Рівняння обертального руху
Формула кутового прискорення виводиться таким же важливим способом, як формула кутової швидкості: Це просто лінійне прискорення у напрямку, перпендикулярному до радіус кола (еквівалентно його прискорення по дотичній до кругового шляху в будь-якій точці), поділений на радіус кола або частини кола, який це:
Це також дається:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t}
тому що для кругового руху:
a_t = \ frac {\ omega r} {t} = \ frac {v} {t}
α, як ви напевно знаєте, це грецька буква "альфа". Індекс "t" тут позначає "тангенс".
Однак, як не дивно, обертальний рух може похвалитися ще одним видом прискорення, який називається доцентровим ("шукає центр") прискоренням. Це дається виразом:
a_c = \ frac {v ^ 2} {r}
Це прискорення спрямоване до точки, навколо якої обертається об'єкт, про який йде мова. Це може здатися дивним, оскільки об’єкт з радіусом не наближається до цієї центральної точкирє фіксованим. Подумайте про доцентрове прискорення як про вільне падіння, при якому немає небезпеки падіння предмета об землю, оскільки сила, що тягне об'єкт до нього (зазвичай гравітація) точно компенсується тангенціальним (лінійним) прискоренням, описаним першим рівнянням у цьому розділі. Якщоаcне були рівнимиат, об’єкт або полетить у космос, або незабаром вріжеться в середину кола.
Пов’язані величини та вирази
Хоча кутова швидкість зазвичай виражається, як зазначалося, в радіанах на секунду, можуть бути випадки, коли вона є переважно або потрібно замість цього використовувати градуси в секунду, або навпаки, перетворювати градуси в радіани перед вирішенням a проблема.
Скажімо, вам сказали, що джерело світла обертається на 90 ° щосекунди з постійною швидкістю. Яка його кутова швидкість у радіанах?
Спочатку пам’ятайте, що 2π радіанів = 360 °, і встановіть пропорцію:
\ frac {360} {2 \ pi} = \ frac {90} {\ omega} \ передбачає 360 \ omega = 180 \ pi \ має на увазі \ omega = \ frac {\ pi} {2}
Відповідь - половина пі радіанів на секунду.
Якби вам далі сказали, що промінь світла має діапазон 10 метрів, якою була б вершина лінійної швидкості променяv, його кутове прискоренняαта його доцентрове прискоренняаc?
Вирішити дляv, зверху v = ωr, де ω = π / 2 і r = 10m:
\ frac {\ pi} {2} 10 = 15,7 \ text {м / с}
Знайтиα, припустимо, що кутова швидкість досягається за 1 секунду, тоді:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t} = \ frac {\ pi / 2} {1} = \ frac {\ pi} {2} \ text {rad / s} ^ 2
(Зверніть увагу, що це працює лише для задач, у яких кутова швидкість є постійною.)
Нарешті, також згори,
a_c = \ frac {v ^ 2} {r} = \ frac {15,7 ^ 2} {10} = 24,65 \ text {m / s} ^ 2
Кутова швидкість проти Лінійна швидкість
Спираючись на попередню проблему, уявіть себе на дуже великій каруселі, одна з неймовірним радіусом 10 кілометрів (10 000 метрів). Цей карусель робить один повний оберт кожні 1 хвилину 40 секунд або кожні 100 секунд.
Одним із наслідків різниці між кутовою швидкістю, яка не залежить від відстані від вісь обертання та лінійна кругова швидкість, яка не є, полягає в тому, що двоє людей переживають однаковоωможе проходити зовсім інший фізичний досвід. Якщо ви знаходитесь на відстані 1 метра від центру, якщо ця передбачувана масивна карусель, ваша лінійна (тангенціальна) швидкість:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (1) = 0,0628 \ text {m / s}
або 6,29 см (менше 3 дюймів) за секунду.
Але якщо ви знаходитесь на краю цього монстра, ваша лінійна швидкість:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (10000) = 628 \ text {m / s}
Це приблизно 1406 миль на годину, швидше, ніж куля. Тримайся!