Ağırlık merkezini tartışmadan önce, birkaç parametreyi varsayalım. Birincisi, uzayda bir yerde değil, Dünya yüzeyinde bulunan bir nesneyle uğraşıyorsunuz. İkincisi, nesnenin oldukça küçük olması – diyelim ki, Dünya'ya park etmiş, kalkış için bekleyen bir uzay gemisi değil. Tüm bu dünya dışı etkiler ortadan kaldırıldığında, geometrik nesnelerin ağırlık merkezini hesaplamak için iyi bir konumdasınız. nispeten basit formül - ve aslında, az önce belirlenen bu koşullar nedeniyle, ağırlık merkezini bulmak için aynı formülü kullanacaksınız. kütle merkezi.
Ağırlık Merkezi Hakkında Nasıl Yazılır?
İki boyutlu bir düzlemde ağırlık merkezi genellikle koordinatlarla gösterilir (xcg,ycg) veya bazen değişkenler tarafındanxveyüzerlerinde bir çubuk ile. Ayrıca, "ağırlık merkezi" terimi bazen cg olarak kısaltılır.
Bir Üçgenin CG Nasıl Hesaplanır
Matematik veya fizik ders kitabınızda genellikle belirli rakamların denge merkezini belirlemek için çizelgeler bulunur. Ancak bazı yaygın geometrik şekiller için, o şeklin ağırlık merkezini bulmak için uygun ağırlık merkezi formülünü kullanabilirsiniz.
Üçgenler için, ağırlık merkezi, üç medyanın kesiştiği noktada bulunur. Üçgenin bir tepe noktasından başlar ve diğer tarafın orta noktasına düz bir çizgi çizerseniz, bu bir medyandır. Diğer iki köşe için de aynısını yapın ve üç medyanın kesiştiği nokta üçgenin ağırlık merkezidir.
Ve elbette bunun bir formülü var. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları ise (xcg,ycg), koordinatlarını şu şekilde bulursunuz:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
nerede (x1,y1), (x2,y2) ve (x3,y3) üçgenin üç köşesinin koordinatlarıdır. Hangi köşeye hangi numaranın atanacağını siz seçersiniz.
Dikdörtgen için Ağırlık Merkezi Formülü
Bir üçgenin ağırlık merkezini bulmak için sadece x-koordinatlarının ortalamasını aldığınızı fark ettiniz mi? sonra y-koordinatlarının değerinin ortalamasını alın ve iki sonucu ağırlık merkezinizin koordinatları olarak mı kullanın?
Dikdörtgenin ağırlık merkezini bulmak için tam olarak aynı şeyi yaparsınız. Ancak hesaplamalarınızı daha da kolaylaştırmak için dikdörtgenin bir Kartezyene kare olarak yönlendirildiğini varsayın. koordinat düzlemi (yani bir açıda ayarlanmamıştır) ve sol alt köşesinin grafik. Bu durumda, (xcg,ycg) bir dikdörtgen için hesaplamanız gereken tek şey:
x_{cg}=\frac{\text{genişlik}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{yükseklik}}{2}
Dikdörtgeninizi koordinat düzleminin başlangıç noktasına taşımak istemiyorsanız veya herhangi bir nedenle dikdörtgenin tam karesi değilse, koordinat eksenleri, değeri bulmak için tüm x koordinatlarının ortalamasını almak için bu biraz daha korkutucu görünen, ancak yine de etkili formülle karşılaşabilirsiniz. x'incgve y'nin değerini bulmak için tüm y-koordinatlarının ortalamasını alıncg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
Ağırlık Merkezi Denklemi
İlk bahsedilen tüm varsayımlara uyan bir şekil için ağırlık merkezini hesaplamanız gerekirse (temelde, gerçek roket bilimi yapmaya çalışmıyorsunuz). uzaydaki nesnelerin ağırlık merkezini bularak), ancak az önce bahsedilen kategorilerden hiçbirine veya arkanızdaki çizelgelere girmez. ders kitabı? Daha sonra şeklinizi daha tanıdık şekillere ayırabilir ve toplu ağırlık merkezlerini bulmak için aşağıdaki denklemleri kullanabilirsiniz:
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
Ya da başka bir deyişle, xcg bölümün alanı 1 çarpı x ekseni üzerindeki konumu, bölümün alanına 2 çarpı konumunun eklenmesi ve bu şekilde tüm bölümlerin alan çarpı konumunu toplayana kadar; sonra bu miktarın tamamını tüm bölümlerin toplam alanına bölün. Sonra aynısını y için yapın.
S: Her bölümün alanını nasıl bulabilirim?Karmaşık veya düzensiz şeklinizi daha tanıdık çokgenlere bölmek, alanı bulmak için standart formüller kullanmanıza olanak tanır. Örneğin, bu şekli dikdörtgen parçalara böldüyseniz, her parçanın alanını bulmak için uzunluk × genişlik formülünü kullanabilirsiniz.
S: Her bölümün "konumu" nedir?Her bölümün konumu, o bölümün ağırlık merkezinden uygun koordinattır. yani istersen y2 (bölüm 2'nin konumu), aslında o bölümün ağırlık merkezi için y-koordinatını sağlamanız gerekir. Yine, bu yüzden garip şekilli bir nesneyi daha tanıdık şekillere bölersiniz, çünkü Her şeklin ağırlık merkezini bulmak için zaten tartışılan formüller ve ardından uygun koordinatı çıkarın (ler).
S: Şeklim koordinat düzleminde nereye gidiyor?Şeklinizin koordinat düzleminde nerede duracağını siz seçersiniz - sadece cevabınızın ağırlık merkezinin aynı referans noktasına göre olacağını unutmayın. Nesnenizi, alt kenarı x eksenine karşı olacak şekilde grafiğinizin ilk çeyreğine yerleştirmek en kolay yoldur. ve sol kenar y eksenine karşı olacak şekilde tüm x ve y değerleri pozitif, ancak aynı zamanda yeterince küçük olacak şekilde yönetilebilir.
Ağırlık Merkezini Bulmanın Püf Noktaları
Tek bir nesneyle uğraşıyorsanız, sezgi ve biraz mantık bazen onun ağırlık merkezini bulmak için tek ihtiyacınız olan şeydir. Örneğin, düz bir disk düşünüyorsanız, ağırlık merkezi diskin merkezi olacaktır. Silindirde, silindir ekseninin orta noktasıdır. Bir dikdörtgen (veya kare) için, köşegen çizgilerin birleştiği noktadır.
Burada bir model fark etmiş olabilirsiniz: Söz konusu nesnenin bir simetri doğrusu varsa, ağırlık merkezi o çizgi üzerinde olacaktır. Ve birden fazla simetri eksenine sahipse, ağırlık merkezi bu eksenlerin kesiştiği yer olacaktır.
Son olarak, gerçekten karmaşık bir nesnenin ağırlık merkezini bulmaya çalışıyorsanız, iki seçeneğiniz vardır: Ya en iyi kalkülüs integrallerinizi çıkarın (bkz. Düzgün olmayan bir kütle için ağırlık merkezini temsil eden üçlü integral kaynakları) veya verilerinizi amaca yönelik bir ağırlık merkezine girin hesap makinesi. (Radyo kontrollü uçaklar için bir ağırlık merkezi hesaplayıcı örneği için Kaynaklara bakın.)