Gagasıyla parmak ucunuz üzerinde sihirle devrilmeden dengede kalabilen o oyuncak kuşlardan hiç gördünüz mü? Kuşun dengesini sağlayan şey sihir değil, kütle merkeziyle ilgili basit fiziktir.
Kütle merkezinin arkasındaki fiziği anlamak, yalnızca momentumun korunumunu ve diğer ilgili fizik değil, aynı zamanda oynadığınız sporlardaki istikrar ve dinamikleri de bilgilendirebilir ve bazı yaratıcı dengelemeler yapmanıza izin verebilir. davranır.
Kütle Merkezinin Tanımı
bir nesneninkütle merkeziBazen ağırlık merkezi olarak da adlandırılan, bir nesnenin veya bir sistemin toplam kütlesinin bir nokta kütle olarak ele alınabileceği nokta olarak düşünülebilir. Bazı durumlarda, dış kuvvetler cismin kütle merkezine etki ediyormuş gibi ele alınabilir.
Parmak ucunda dengede duran oyuncak kuş için kütle merkezi gagasındadır. Bu ilk başta yanlış görünebilir, bu yüzden dengeleme eylemi büyülü görünür. Gerçekten de dalda oturan bir kuş için kütle merkezi vücudunun bir yerindedir. Ancak dengeleyici kuş oyuncağının genellikle dışa ve öne doğru uzanan ve farklı şekilde dengelenmesine neden olan ağırlıklı kanatları vardır.
Kütle merkezi, dengeleyici kuş gibi tek bir nesne için belirlenebilir veya daha sonraki bir bölümde göreceğiniz gibi, birkaç nesneden oluşan bir sistem için hesaplanabilir.
Tek Bir Nesnenin Kütle Merkezi
Katı bir cisim üzerinde her zaman o cismin kütle merkezinin bulunduğu tek bir nokta olacaktır. Bir cismin kütle merkezinin konumu, kütle dağılımına bağlıdır.
Bir nesne tekdüze yoğunluğa sahipse, kütle merkezini belirlemek daha kolaydır. Örneğin, düzgün yoğunluklu bir çemberde, kütle merkezi çemberin merkezidir. (Ancak, daire bir tarafta diğerinden daha yoğun olsaydı durum böyle olmazdı).
Aslında, yoğunluk tekdüze olduğunda kütle merkezi her zaman nesnenin geometrik merkezinde olacaktır. (Bu geometrik merkez denirmerkez.)
Yoğunluk düzgün değilse, kütle merkezini belirlemenin başka yolları da vardır. Bu yöntemlerden bazıları, bu makalenin kapsamı dışında kalan kalkülüs kullanımını içerir. Ancak katı bir nesnenin kütle merkezini belirlemenin basit bir yolu, onu parmak ucunuzla dengelemeye çalışmaktır. Kütle merkezi denge noktasında olacaktır.
Düzlemsel nesneler için faydalı olan başka bir yöntem ise şu şekildedir:
- Şekli, bir çekül çizgisiyle birlikte bir kenar noktasından askıya alın.
- Çekül çizgisiyle aynı hizada olan şeklin üzerine bir çizgi çizin.
- Şekli, bir çekül çizgisiyle birlikte farklı bir kenar noktasından askıya alın.
- Yeni çekül çizgisiyle aynı hizada olan şeklin üzerine bir çizgi çizin.
- Çizilen iki doğru tek bir noktada kesişmelidir.
- Bu eşsiz kesişme noktası, kütle merkezinin konumudur.
Ancak bazı nesneler için denge noktasının nesnenin kendi sınırlarının dışında olması mümkündür. Örneğin bir yüzük düşünün. Bir halka şeklinin kütle merkezi, halkanın hiçbir parçasının bulunmadığı merkezdedir.
Bir Parçacık Sisteminin Kütle Merkezi
Bir parçacık sistemi için kütle merkezinin konumu, onların ortalama kütle konumu olarak düşünülebilir.
Bu parçacık sisteminin katı, kütlesiz bir düzlemle birbirine bağlı olduğunu hayal ederseniz, aynı fikir katı bir nesne için kullanılabilir. Kütle merkezi o zaman bu sistemin denge noktası olacaktır.
Bir parçacık sisteminin kütle merkezini matematiksel olarak belirlemek için aşağıdaki basit formül kullanılabilir:
\vec{r} = \frac{1}{M}(m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...
NeredeMsistemin toplam kütlesi,mbenbireysel kitlelerdir verbenkonum vektörleridir.
Bir boyutta (düz bir çizgi boyunca dağılmış kütleler için) değiştirebilirsinizrilex.
İki boyutta, bulabilirsinizx-koordinat vey- kütle merkezinin ayrı ayrı koordinatı:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \text{ }\\ y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Kütle Merkezini Hesaplama Örnekleri
Örnek 1:Aşağıdaki parçacık sisteminin kütle merkezinin koordinatlarını bulun: kütle parçacığı 0.1 kg (1, 2) konumunda, 0.05 kg kütleli parçacık (2, 4) konumunda ve 0.075 kg kütleli parçacık (2, 1).
1. Çözüm:için formülü uygulayınx- kütle merkezinin koordinatı aşağıdaki gibidir:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(1) + 0.05(2) ) + 0.075(2))\\\text{ }\\=0.079
Daha sonra formülü uygulayıny- kütle merkezinin koordinatı aşağıdaki gibidir:
y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(2) + 0.05(4) ) + 0.075(1))\\\text{ }\\=2.11
Yani kütle merkezinin konumu (0.079, 2.11)'dir.
Örnek 2:Köşeleri (0, 0), (1, 0) ve (1/2, √3/2) noktalarında bulunan düzgün yoğunluklu bir eşkenar üçgenin kütle merkezinin konumunu bulun.
2. Çözüm:Kenar uzunluğu 1 olan bu eşkenar üçgenin geometrik merkezini bulmanız gerekiyor.x- geometrik merkezin koordinatı basittir – sadece 1/2'dir.
y-koordinat biraz daha aldatıcıdır. Üçgenin tepesinden (0, 1/2) noktasına kadar olan bir çizginin, diğer köşelerden herhangi birinden zıt kenarlardan birinin orta noktasına kadar olan bir çizgiyle kesiştiği yerde meydana gelecektir. Böyle bir düzenleme çizerseniz, kendinizi uzun ayağı 0,5, kısa ayağı ise 30-60-90 dik üçgen şeklinde bulacaksınız.y-koordinat. Bu taraflar arasındaki ilişki √3y = 1/2, dolayısıyla y = √3/6 ve kütle merkezinin koordinatları (1/2, √3/6)'dır.
Kütle Merkezinin Hareketi
Bir nesnenin veya nesneler sisteminin kütle merkezinin konumu, birçok fizik hesaplamasında referans noktası olarak kullanılabilir.
Örneğin, etkileşim halindeki parçacıklardan oluşan bir sistemle çalışırken, sistemin kütle merkezini bulmak lineer momentumun anlaşılmasını sağlar. Doğrusal momentum korunduğunda, nesnelerin kendileri birbirlerinden sekse bile, sistemin kütle merkezi sabit bir hızla hareket edecektir.
Düşen katı bir nesne için, yerçekimi, o nesne dönüyor olsa bile, o nesnenin kütle merkezine etki ediyormuş gibi ele alınabilir.
Aynı şey mermiler için de geçerlidir. Bir çekiç fırlattığınızı ve havada bir yay boyunca uçarken uçtan uca döndüğünü hayal edin. Bu, ilk başta modellemek için karmaşık bir hareket gibi görünebilir, ancak çekicin kütle merkezinin güzel, pürüzsüz bir parabolik yolda hareket ettiği ortaya çıktı.
Bunu, küçük bir parlayan bant parçasını çekicin kütle merkezine bantlayarak ve ardından çekici karanlık bir odada anlatıldığı gibi savurarak gösteren basit bir deney gerçekleştirilebilir. Parlayan bant, atılan bir top gibi düzgün bir yayda hareket ediyor gibi görünecektir.
Basit Bir Deney: Bir Süpürgenin Kütle Merkezini Bulun
Evde yapabileceğiniz eğlenceli bir kütle merkezi deneyi, bir süpürgenin kütle merkezini bulmak için basit bir teknik kullanmayı içerir. Bu deney için ihtiyacınız olan tek şey bir süpürge ve iki el.
Elleriniz birbirinden nispeten uzaktayken, iki işaret parmağının ucundaki süpürgeyi kaldırın. Ardından ellerinizi yavaşça birbirine yaklaştırın ve süpürgenin altına kaydırın. Ellerinizi birbirine yaklaştırdığınızda, bir elin süpürge sapının alt tarafı boyunca kaymak istediğini, diğerinin ise kaymadan önce bir süre yerinde kaldığını fark edebilirsiniz.
Elleriniz hareket ettiği süre boyunca süpürge dengede kalır. Sonunda iki eliniz birleştiğinde süpürgenin kütle merkezinin olduğu yerde buluşacaklar.
İnsan Vücudunun Kütle Merkezi
İnsan vücudunun kütle merkezi, göbeğe (göbek deliğine) yakın bir yerde bulunur. Erkeklerde, üst vücutlarında daha fazla vücut kütlesi taşıdıkları için kütle merkezi biraz daha yüksek olma eğilimindedir ve kadınlarda kalçalarında daha fazla kütle taşıdıkları için kütle merkezi daha düşüktür.
Tek ayak üzerinde durursanız, kütle merkeziniz, üzerinde durduğunuz ayağın yanına doğru kayar. O tarafa daha çok eğildiğinizi fark edebilirsiniz. Çünkü dengede kalabilmek için kütle merkezinizin dengede olduğunuz ayağın üzerinde kalması gerekir, aksi halde devrileceksiniz.
Bir ayağınız ve kalçanız duvara dayalı olarak durur ve diğer bacağınızı kaldırmaya çalışırsanız, muhtemelen imkansız bulacaksınız çünkü duvar, ağırlığınızın denge ayağı üzerinden geçmesini engeller.
Denenecek başka bir şey de sırtınızı duvara ve topuklarınız duvara değecek şekilde ayakta durmaktır. Ardından öne eğilmeye ve bacaklarınızı bükmeden yere dokunmaya çalışın. Kadınlar bu görevde erkeklerden daha başarılı olabilirler çünkü kütle merkezleri vücutlarında daha aşağıdadır ve öne eğildiklerinde hala parmak uçlarında kalabilirler.
Kütle Merkezi ve Kararlılık
Bir nesnenin tabanına göre kütle merkezinin konumu, kararlılığını belirler. Bir şey, hafifçe eğilip bırakıldığında, daha fazla devrilmek ve düşmek yerine orijinal konumuna geri dönerse, dengeli bir şekilde dengelenmiş olarak kabul edilir.
Üç boyutlu bir piramit şekli düşünün. Tabanında dengeli ise stabildir. Bir ucunu hafifçe kaldırır ve bırakırsanız, geri düşer. Ancak piramidi ucunda dengelemeye çalışırsanız, mükemmel dengeden herhangi bir sapma, onun devrilmesine neden olur.
Kütle merkezinin tabana göre konumuna bakarak bir cismin orijinal konumuna geri mi düşeceğini veya devrileceğini belirleyebilirsiniz. Kütle merkezi tabanı geçtiğinde, nesne devrilecektir.
Spor yapıyorsanız, geniş bir duruş ve dizleriniz bükülü olarak ayakta durduğunuz hazır pozisyona aşina olabilirsiniz. Bu, kütle merkezinizi düşük tutar ve geniş taban sizi daha dengeli hale getirir. Hazır pozisyondaysanız, hazır pozisyondaysanız, birinin sizi devirmek için sizi ne kadar zorlaması gerektiğini düşünün. ayaklarınız bitişik olarak dik durduğunuzda.
Bazı arabalar keskin dönüşler yaparken takla atma sorunu yaşarlar. Bunun nedeni kütle merkezlerinin konumudur. Bir aracın kütle merkezi çok yüksekse ve tabanı yeterince geniş değilse, devrilmesi fazla zaman almaz. Bir aracın dengesi için ağırlığın çoğunu mümkün olduğunca düşük tutmak her zaman en iyisidir.