Üç boyutlu uzayda bir düzlemin denklemi cebirsel gösterimle ax + by + cz = d şeklinde yazılabilir, burada aşağıdakilerden en az biri "a", "b" ve "c" gerçek sayı sabitleri sıfır olmamalıdır ve "x", "y" ve "z" üç boyutlu uçak. Üç nokta verilirse, vektör çapraz çarpımlarını kullanarak düzlemi belirleyebilirsiniz. Vektör uzayda bir çizgidir. Çapraz ürün, iki vektörün çarpımıdır.
Uçakta üç noktayı alın. Onları "A", "B" ve "C" olarak etiketleyin. Örneğin, bu noktaların A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); ve C = (1, 3, 4).
Düzlemde iki farklı vektör bulun. Örnekte AB ve AC vektörlerini seçin. AB vektörü-A noktasından-B noktasına gider ve AC vektörü-A noktasından-C noktasına gider. AB vektörünü elde etmek için A noktasındaki her bir koordinatı B noktasındaki her bir koordinattan çıkarın: (-2, 3, 1). Benzer şekilde, AC vektörü -C noktası eksi-A noktası veya (-2, 2, 3)'tür.
İki vektörün her birine ve ayrıca düzleme normal (veya dik veya dik) olan yeni bir vektör elde etmek için iki vektörün çapraz çarpımını hesaplayın. (a1, a2, a3) ve (b1, b2, b3) vektörlerinin çapraz çarpımı, N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1) ile verilir. Örnekte, AB ve AC'nin çapraz ürünü N, i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], bu da N = 7i + 4j + 2k'ye sadeleşir. "i", "j" ve "k"nin vektör koordinatlarını temsil etmek için kullanıldığını unutmayın.
Düzlemin denklemini türet. Düzlemin denklemi Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0'dır, burada (a1, a2, a3) düzlemdeki herhangi bir noktadır ve (Ni, Nj, Nk) ) normal vektördür, N. Örnekte, (1, 3, 4) olan C noktası kullanılarak, düzlemin denklemi 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0'dır, bu da şunu basitleştirir: 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 veya 7x + 4y + 2z = 27.
Cevabınızı doğrulayın. Düzlem denklemini karşılayıp karşılamadıklarını görmek için orijinal noktaları değiştirin. Örneği bitirmek için, üç noktadan herhangi birini yerine koyarsanız, düzlemin denkleminin gerçekten sağlandığını göreceksiniz.
İpuçları
Bir düzlemin denklemini bulmak için aynı anda üç denklemden oluşan sistemlerin nasıl kullanılacağına ilişkin ipuçları için Kaynaklara bakın.