İki Noktalı Üstel Bir Denklem Nasıl Bulunur?

Belirli bir üstel eğriye düşen iki nokta biliyorsanız, bu noktaları kullanarak genel üstel fonksiyonu çözerek eğriyi tanımlayabilirsiniz. Pratikte bu, y = ab denklemindeki y ve x noktalarını değiştirmek anlamına gelir.^x. Noktalardan birinin x değeri 0 ise işlem daha kolaydır, yani nokta y ekseni üzerindedir. Her iki nokta da sıfır x değerine sahip değilse, x ve y'yi çözme süreci biraz daha karmaşıktır.

Birçok önemli sistem, üstel büyüme ve bozulma modellerini takip eder. Örneğin, bir kolonideki bakteri sayısı genellikle üssel olarak artar ve bir nükleer olayı takiben atmosferdeki ortam radyasyonu genellikle üssel olarak azalır. Bilim adamları, veri alarak ve bir eğri çizerek tahminlerde bulunmak için daha iyi bir konumdadır.

İki boyutlu bir grafik üzerindeki herhangi bir nokta, genellikle içinde yazılan iki sayı ile temsil edilebilir. (x, y) formu, burada x orijinden yatay mesafeyi tanımlar ve y dikey mesafeyi temsil eder mesafe. Örneğin, (2, 3) noktası y ekseninin iki birim sağında ve x ekseninin üç birim yukarısındadır. Öte yandan, (-2, -3) noktası y ekseninin iki birim solundadır. ve x ekseninin üç birim altında.

İki noktanız varsa, (x₁, y₁) ve (x₂, y₂), bu noktalardan geçen üstel fonksiyonu y = ab denkleminde yerine koyarak tanımlayabilirsiniz.^x ve a ve b için çözme. Genel olarak, bu denklem çiftini çözmeniz gerekir:

y₁ = ab^x1 ve y₂ = ab^x2, .

Bu formda matematik biraz karmaşık görünüyor, ancak birkaç örnek yaptıktan sonra daha az görünüyor.

x değerlerinden biri -- x deyin₁ -- 0 ise işlem çok basit hale gelir. Örneğin, (0, 2) ve (2, 4) noktaları için denklemi çözmek şunları verir:

2 = ab⁰ ve 4 = ab². b olduğunu bildiğimiz için⁰ = 1, ilk denklem 2 = a olur. a'yı ikinci denklemde yerine koymak 4 = 2b verir²b'ye sadeleştirdiğimiz² = 2 veya b = yaklaşık 1,41'e eşit olan 2'nin karekökü. Tanımlayıcı fonksiyon daha sonra y = 2 (1.41)^x.

Her iki x değeri de sıfır değilse, denklem çiftini çözmek biraz daha zahmetlidir. Henochmath bu prosedürü açıklığa kavuşturmak için bize kolay bir örnek veriyor. Örneğinde (2, 3) ve (4, 27) nokta çiftini seçti. Bu, aşağıdaki denklem çiftini verir:

27 = ab⁴

3 = ab²

İlk denklemi ikinciye bölersek,

9 = b²

yani b = 3. b'nin de -3'e eşit olması mümkündür, ancak bu durumda, bunun pozitif olduğunu varsayalım.

a'yı elde etmek için bu değeri her iki denklemde de b ile değiştirebilirsiniz. İkinci denklemi kullanmak daha kolaydır, bu nedenle:

3 = bir (3)² 3 = a9, a = 3/9 veya 1/3 olarak basitleştirilebilir.

Bu noktalardan geçen denklem şu şekilde yazılabilir: y = 1/3(3)^x.

1910'dan beri insan nüfusu artışı üstel olmuştur ve bir büyüme eğrisi çizerek bilim adamları geleceği tahmin etmek ve planlamak için daha iyi bir konumdadır. 1910'da dünya nüfusu 1,75 milyar iken 2010'da 6,87 milyardı. 1910 başlangıç ​​noktası olarak alınırsa, bu (0, 1.75) ve (100, 6.87) nokta çiftini verir. İlk noktanın x değeri sıfır olduğu için a'yı kolayca bulabiliriz.

1.75 = ab⁰ veya a = 1.75. Bu değeri, ikinci noktanınkilerle birlikte genel üstel denkleme eklemek, 6.87 = 1.75b üretir.¹⁰⁰6.87/1.75 veya 3.93'ün yüzüncü kökü olarak b değerini verir. Böylece denklem olur y = 1.75 (3.93'ün yüzüncü kökü)^x. Bunu yapmak için bir hesap cetvelinden daha fazlasını gerektirse de, bilim adamları bu denklemi, politikacıların uygun politikalar oluşturmalarına yardımcı olmak için gelecekteki nüfus sayılarını tahmin etmek için kullanabilir.