Matematikte yaptığınız önemli işlemlerden biri türev bulmaktır. Bir fonksiyonun türevine o fonksiyonun değişim oranı da denir. Örneğin, x(t) herhangi bir t anındaki arabanın konumuysa, x'in dx/dt olarak yazılan türevi arabanın hızıdır. Ayrıca türev, bir fonksiyonun grafiğine teğet olan bir doğrunun eğimi olarak da görselleştirilebilir. Teorik düzeyde, matematikçiler türevleri bu şekilde bulurlar. Uygulamada, matematikçiler temel kurallar ve arama tabloları setlerini kullanırlar.
Bir Eğim Olarak Türev
İki nokta arasındaki bir doğrunun eğimi, yükselme veya y değerlerindeki farkın uzunluğa bölünmesi veya x değerlerindeki farktır. Belirli bir x değeri için bir y (x) fonksiyonunun eğimi, fonksiyona [x, y (x)] noktasında teğet olan bir doğrunun eğimi olarak tanımlanır. Eğimi hesaplamak için [x, y (x)] noktası ile yakındaki [x+h, y (x+h)] noktası arasında bir doğru oluşturun, burada h çok küçük bir sayıdır. Bu çizgi için, x değerindeki koşu veya değişiklik h'dir ve y değerindeki artış veya değişiklik y (x+h) - y (x)'dir. Sonuç olarak, y (x)'in [x, y (x)] noktasındaki eğimi yaklaşık olarak [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/h. Eğimi tam olarak elde etmek için, h küçüldükçe, sıfıra gittiği “sınır”a kadar eğimin değerini hesaplarsınız. Bu şekilde hesaplanan eğim, y'(x) veya dy/dx olarak yazılan y(x)'in türevidir.
Bir Güç Fonksiyonunun Türevi
y'nin x'e eşit olduğu veya y (x) = x^a olduğu fonksiyonların türevlerini hesaplamak için eğim/limit yöntemini kullanabilirsiniz. Örneğin, y eşittir x küp, y (x) = x^3, o zaman dy/dx, h [(x + h)^3 - x^3]/h'nin sıfırına giderken limittir. (x+h)^3'ü genişletmek [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h verir, bu da böldükten sonra 3x^2 + 3xh^2 + h^2'ye düşer tarafından Limitte h sıfıra giderken, içinde h olan tüm terimler de sıfıra gider. Yani, y'(x) = dy/dx = 3x^2. Bunu 3 dışındaki değerler için yapabilirsiniz ve genel olarak d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1) olduğunu gösterebilirsiniz.
Bir Güç Serisinden Türev
Birçok fonksiyon, sonsuz sayıda terimin toplamı olan kuvvet serileri olarak yazılabilir. her biri C(n) x^n biçimindedir, burada x bir değişkendir, n bir tamsayıdır ve C(n) her bir değer için belirli bir sayıdır. n. Örneğin, sinüs fonksiyonunun kuvvet serisi Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +... şeklindedir, burada “...” devam eden terimler anlamına gelir. sonsuzluğa. Bir fonksiyonun kuvvet serisini biliyorsanız, fonksiyonun türevini hesaplamak için x^n kuvvetinin türevini kullanabilirsiniz. Örneğin, Sin (x)'in türevi 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +...'ya eşittir, bu da Cos (x) için kuvvet serisi olur.
Tablolardan Türevler
x^a gibi kuvvetler, üstel fonksiyonlar, log fonksiyonları ve trig fonksiyonları gibi temel fonksiyonların türevleri, eğim/limit metodu, kuvvet serisi metodu veya diğer metotlar kullanılarak bulunur. Bu türevler daha sonra tablolarda listelenir. Örneğin, Sin (x)'in türevinin Cos (x) olduğuna bakabilirsiniz. Karmaşık fonksiyonlar, temel fonksiyonların kombinasyonları olduğunda, tablolarda da verilen zincir kuralı ve çarpım kuralı gibi özel kurallara ihtiyacınız vardır. Örneğin, Sin (x^2)'nin türevinin 2xCos (x^2) olduğunu bulmak için zincir kuralını kullanırsınız. xSin (x)'in türevinin xCos (x) + Sin (x) olduğunu bulmak için çarpım kuralını kullanırsınız. Tabloları ve basit kuralları kullanarak herhangi bir fonksiyonun türevini bulabilirsiniz. Ancak bir işlev son derece karmaşık olduğunda, bilim adamları bazen yardım için bilgisayar programlarına başvururlar.