Matematikte bazen fonksiyonların lineer anlamda birbirine bağımlı mı yoksa bağımsız mı olduğunu kanıtlama ihtiyacı ortaya çıkar. Doğrusal bağımlı iki fonksiyonunuz varsa, bu fonksiyonların denklemlerinin grafiğini çizmek, çakışan noktalarla sonuçlanır. Bağımsız denklemleri olan fonksiyonlar, çizildiğinde örtüşmez. Fonksiyonların bağımlı mı bağımsız mı olduğunu belirlemenin bir yöntemi, fonksiyonlar için Wronskian'ı hesaplamaktır.
Wronski nedir?
İki veya daha fazla fonksiyonun Wronskian'ı, matematiksel nesneleri karşılaştırmak ve onlar hakkında belirli gerçekleri kanıtlamak için kullanılan özel bir fonksiyon olan determinant olarak bilinen şeydir. Wronskian durumunda, determinant, iki veya daha fazla lineer fonksiyon arasındaki bağımlılığı veya bağımsızlığı kanıtlamak için kullanılır.
Wronskiyen Matrisi
Doğrusal fonksiyonlar için Wronskian'ı hesaplamak için, fonksiyonların hem fonksiyonları hem de türevlerini içeren bir matris içinde aynı değer için çözülmesi gerekir. Bunun bir örneği
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
Wronskian'ı iki işlev için sağlayan (fveg) sıfırdan büyük tek bir değer için çözülenler (t); iki işlevi görebilirsinizf(t) veg(t) matrisin üst satırında ve türevlerif'(t) veg'(t) alt satırda. Wronskian'ın daha büyük setler için de kullanılabileceğini unutmayın. Örneğin, bir Wronskian ile üç fonksiyonu test ederseniz, bir matrisi aşağıdaki fonksiyonlar ve türevlerle doldurabilirsiniz.f(t), g(t) veh(t).
Wronski'yi Çözmek
Fonksiyonları bir matriste düzenledikten sonra, her fonksiyonu diğer fonksiyonun türeviyle çarpın ve ilk değeri ikinciden çıkarın. Yukarıdaki örnek için, bu size
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Son cevap sıfıra eşitse, bu iki fonksiyonun bağımlı olduğunu gösterir. Cevap sıfırdan farklıysa, fonksiyonlar bağımsızdır.
Wronskiyen Örnek
Bunun nasıl çalıştığı hakkında size daha iyi bir fikir vermek için
f (t) = x + 3 \text{ ve } g (t) = x - 2
bir değer kullanarakt= 1, fonksiyonları şu şekilde çözebilirsiniz:
f (1) = 4 \text{ ve } g (1) = -1
Bunlar eğimi 1 olan temel doğrusal fonksiyonlar olduğundan, her ikisinin de türevlerif(t) veg(t) eşittir 1. Değerlerinizi çapraz çarpmak
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
bu da 5'lik bir nihai sonuç sağlar. Doğrusal fonksiyonların her ikisi de aynı eğime sahip olsa da, noktaları örtüşmediğinden bağımsızdırlar. Eğerf(t) 4 yerine -1 bir sonuç üretmiş olsaydı, Wronskian bağımlılığı belirtmek için sıfır yerine bir sonuç verirdi.