Denklem sistemlerini çözmek için en yaygın olarak kullanılan üç yöntem ikame, eleme ve artırılmış matrislerdir. Yerine koyma ve eleme, iki denklemli sistemlerin çoğunu birkaç basit adımda etkin bir şekilde çözebilen basit yöntemlerdir. Artırılmış matrisler yöntemi daha fazla adım gerektirir, ancak uygulaması daha çeşitli sistemlere uzanır.
ikame
İkame, denklemlerden birindeki değişkenlerden biri hariç tümünü çıkararak ve sonra bu denklemi çözerek denklem sistemlerini çözme yöntemidir. Bu, bir denklemdeki diğer değişkeni izole ederek ve daha sonra bu değişkenlerin değerlerini başka bir denklemde değiştirerek elde edilir. Örneğin, x + y = 4, 2x - 3y = 3 denklem sistemini çözmek için, ilk önce x değişkenini izole edin. x = 4 - y elde etmek için denklem, sonra 2(4 - y) - 3y = elde etmek için bu y değerini ikinci denklemde değiştirin 3. Bu denklem -5y = -5 veya y = 1 olarak sadeleşir. x'in değerini bulmak için bu değeri ikinci denkleme yerleştirin: x + 1 = 4 veya x = 3.
Eliminasyon
Eleme, denklemlerden birini yalnızca bir değişken cinsinden yeniden yazarak denklem sistemlerini çözmenin başka bir yoludur. Eleme yöntemi bunu, değişkenlerden birini iptal etmek için birbirine denklemler ekleyerek veya çıkararak başarır. Örneğin, x + 2y = 3 ve 2x - 2y = 3 denklemlerinin eklenmesi, yeni bir denklem verir, 3x = 6 (y terimlerinin iptal edildiğine dikkat edin). Sistem daha sonra ikame ile aynı yöntemler kullanılarak çözülür. Denklemlerdeki değişkenleri iptal etmek mümkün değilse, katsayıları eşleştirmek için denklemin tamamını bir faktörle çarpmak gerekecektir.
Artırılmış Matris
Artırılmış matrisler, denklem sistemlerini çözmek için de kullanılabilir. Artırılmış matris, her denklem için satırlardan, her değişken için sütunlardan ve denklemin diğer tarafında sabit terimi içeren artırılmış bir sütundan oluşur. Örneğin, 2x + y = 4, 2x - y = 0 denklem sistemi için artırılmış matris [[2 1], [2 -1]...[4, 0]]'dir.
Çözümün Belirlenmesi
Sonraki adım, bir satırı sıfırdan farklı bir sabitle çarpma veya bölme ve satır toplama veya çıkarma gibi temel satır işlemlerini kullanmayı içerir. Bu işlemlerin amacı, matrisi, her satırdaki sıfır olmayan ilk girişin 1, giriş olduğu satır-adım formuna dönüştürmektir. bu girişin üstünde ve altında hepsi sıfırdır ve her satır için sıfır olmayan ilk giriş her zaman satırlardaki tüm bu girişlerin sağındadır. üzerinde. Yukarıdaki matris için satır-kademe formu [[1 0], [0 1]...[1, 2]]'dir. İlk değişkenin değeri ilk satırda (1x + 0y = 1 veya x = 1) verilir. İkinci değişkenin değeri ikinci satırda (0x + 1y = 2 veya y = 2) verilir.
Uygulamalar
Yerine koyma ve eleme, denklemleri çözmenin daha basit yöntemleridir ve temel cebirde artırılmış matrislerden çok daha sık kullanılır. Yerine koyma yöntemi, özellikle değişkenlerden biri denklemlerden birinde zaten izole edilmişse kullanışlıdır. Eleme yöntemi, tüm denklemlerde değişkenlerden birinin katsayısı aynı (veya negatif eşdeğeri) olduğunda kullanışlıdır. Artırılmış matrislerin birincil avantajı, ikame ve elemenin mümkün olmadığı veya imkansız olduğu durumlarda üç veya daha fazla denklem sistemini çözmek için kullanılabilmesidir.