Kübik Denklemler Nasıl Çözülür

Polinom fonksiyonlarını çözmek, matematik veya fizik okuyan herkes için önemli bir beceridir, ancak süreçle başa çıkmak - özellikle daha yüksek dereceli fonksiyonlar söz konusu olduğunda - oldukça zor olabilir. Kübik fonksiyon, elle çözmeniz gerekebilecek en zorlu polinom denklemlerinden biridir. İkinci dereceden bir denklemi çözmek kadar basit olmasa da, birkaç yöntem vardır. sayfalara ve ayrıntılı sayfalara başvurmadan kübik bir denklemin çözümünü bulmak için kullanabilirsiniz. cebir.

Bir kübik fonksiyon üçüncü dereceden bir polinomdur. Genel bir polinom fonksiyonu şu şekildedir:

Buraya, x değişkendir, n basitçe herhangi bir sayıdır (ve polinomun derecesi), k bir sabittir ve diğer harfler her bir güç için sabit katsayılardır. x. Yani bir kübik fonksiyon vardır n = 3 ve basitçe:

Bu durumda nerede, d sabittir. Genel olarak konuşursak, bir kübik denklemi çözmeniz gerektiğinde, size şu şekilde sunulur:

için her bir çözüm x denklemin “kökü” olarak adlandırılır. Kübik denklemlerin ya bir ya da üç gerçek kökü vardır, ancak bunlar tekrarlanabilir, ancak her zaman en az bir çözüm vardır.

Denklem türü, en yüksek güçle tanımlanır, bu nedenle yukarıdaki örnekte, eğer bir kübik denklem olmazdı: bir = 0, çünkü en yüksek güç terimi sevgili² ve ikinci dereceden bir denklem olurdu. Bu, aşağıdakilerin tümünün kübik denklemler olduğu anlamına gelir:

Kübik bir denklemi çözmenin en kolay yolu, biraz tahminde bulunmayı ve sentetik bölme adı verilen algoritmik bir işlem türünü içerir. Başlangıç, yine de, temel olarak, kübik denklem çözümleri için deneme yanılma yöntemiyle aynıdır. Tahmin ederek köklerden birinin ne olduğunu bulmaya çalışın. İlk katsayının olduğu bir denkleminiz varsa, bir, eşittir 1, o zaman köklerden birini tahmin etmek biraz daha kolaydır, çünkü bunlar her zaman yukarıda ile temsil edilen sabit terimin çarpanlarıdır. d.

Yani, örneğin aşağıdaki denkleme bakarak:

için değerlerden birini tahmin etmeniz gerekir. x, ama o zamandan beri bir = 1 bu durumda, değer ne olursa olsun, 24'ün bir faktörü olması gerektiğini bilirsiniz. Bu tür ilk faktör 1'dir, ancak bu kalır:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Hangisi sıfır değildir ve -1 bırakır:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Hangisi yine sıfır değil. Sonraki, x = 2 şunu verir:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Başka bir başarısız. denemek x = -2 verir:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Bu şu anlama gelir x = -2, kübik denklemin bir köküdür. Bu, deneme yanılma yönteminin avantajlarını ve dezavantajlarını gösterir: Cevabı fazla bir şey olmadan alabilirsiniz. düşündüm, ancak zaman alıyor (özellikle bir kök bulmadan önce daha yüksek faktörlere gitmeniz gerekiyorsa). Neyse ki, bir kök bulduğunuzda denklemin geri kalanını kolayca çözebilirsiniz.

Anahtar, faktör teoremini dahil etmektir. Bu, eğer x = s bir çözümdür, o zaman (x – s) denklemden çıkarılabilen bir faktördür. Bu durum için, s = -2, ve böylece (x + 2) ayrılmak için çıkarabileceğimiz bir faktördür:

İkinci parantez grubundaki terimler ikinci dereceden bir denklem biçimindedir, bu nedenle uygun değerleri bulursanız bir ve b, denklem çözülebilir.

Bu, sentetik bölme kullanılarak gerçekleştirilebilir. İlk önce, bir tablonun üst satırındaki orijinal denklemin katsayılarını bir bölme çizgisi ve ardından sağdaki bilinen kökü yazın:

Bir yedek satır bırakın ve altına yatay bir çizgi ekleyin. İlk önce ilk sayıyı (bu durumda 1) yatay çizginizin altındaki satıra alın

Şimdi indirdiğiniz sayıyı bilinen kökle çarpın. Bu durumda, 1 × -2 = -2 ve bu, listedeki bir sonraki sayının altına aşağıdaki gibi yazılır:

Ardından ikinci sütundaki sayıları ekleyin ve sonucu yatay çizginin altına koyun:

Şimdi, yatay çizginin altındaki yeni sayı ile az önce yaptığınız işlemi tekrarlayın: kök, cevabı bir sonraki sütundaki boş alana koyun ve ardından sütunda yeni bir sayı elde etmek için sütunu ekleyin. alt satır. Bu yapraklar:

Ve sonra süreci son bir kez gözden geçirin.

Son cevabın sıfır olması size geçerli bir kökünüz olduğunu söyler, yani bu sıfır değilse bir yerde hata yapmışsınız demektir.

Şimdi, alt sıra size ikinci parantez setindeki üç terimin çarpanlarını söyler, böylece yazabilirsiniz:

Ve bu yüzden:

Bu, çözümün en önemli aşamasıdır ve bu noktadan sonra birçok şekilde bitirebilirsiniz.

Bir faktörü kaldırdıktan sonra, çarpanlara ayırmayı kullanarak bir çözüm bulabilirsiniz. Yukarıdaki adımdan, bu temelde bazı durumlarda zorlayıcı olabilen ikinci dereceden bir denklemi çarpanlara ayırma ile aynı problemdir. Ancak ifade için:

Parantez içine koyduğunuz iki sayının ikinci katsayıyı (7) vermek için toplaması ve üçüncüyü (12) vermek için çarpması gerektiğini hatırlarsanız, bu durumda şunu görmek oldukça kolaydır:

İsterseniz kontrol etmek için bunu çoğaltabilirsiniz. Çarpanlara ayırmayı hemen göremiyorsanız cesaretiniz kırılmasın; biraz pratik gerektirir. Bu, orijinal denklemi şu şekilde bırakır:

Hemen görebileceğiniz çözümler var x = -2, 3 ve 4 (hepsi orijinal sabit olan 24'ün çarpanlarıdır). Teoride, denklemin orijinal versiyonundan başlayarak tüm çarpanlara ayırmayı görmek de mümkün olabilir, ancak bu çok fazla. daha zordur, bu nedenle deneme yanılma yoluyla bir çözüm bulmak ve bir sorunu tespit etmeye çalışmadan önce yukarıdaki yaklaşımı kullanmak daha iyidir. çarpanlara ayırma.

Çarpanlara ayırmayı görmekte zorlanıyorsanız, ikinci dereceden denklem formülünü kullanabilirsiniz:

Kalan çözümleri bulmak için.

Çok daha büyük ve uğraşması daha az basit olmasına rağmen, kübik formül şeklinde basit bir kübik denklem çözücü var. Bu, değerlerinizi girdiğiniz ikinci dereceden denklem formülü gibidir. bir, b, c ve d bir çözüm elde etmek için, ama sadece çok daha uzun.

Şu hususları belirtmektedir:

nerede

ve

Bu formülü kullanmak zaman alıcıdır, ancak kübik denklem çözümleri için deneme yanılma yöntemini ve ardından ikinci dereceden formülü kullanmak istemiyorsanız, hepsini gözden geçirdiğinizde bu işe yarar.