Cebir genellikle ifadeleri basitleştirmeyi içerir, ancak bazı ifadelerle uğraşmak diğerlerinden daha kafa karıştırıcıdır. Karmaşık sayılar olarak bilinen miktarı içerirben, özelliği ile "hayali" bir sayıben= √−1. Basitçe karmaşık bir sayı içeren bir ifade yapmanız gerekiyorsa, bu göz korkutucu görünebilir, ancak temel kuralları öğrendikten sonra oldukça basit bir işlemdir.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Karmaşık sayılarla cebir kurallarını izleyerek karmaşık sayıları basitleştirin.
Karmaşık Sayı nedir?
Karmaşık sayılar, aşağıdakilerin dahil edilmesiyle tanımlanır:beneksi birin karekökü olan terim. Temel düzey matematikte, negatif sayıların karekökleri gerçekte yoktur, ancak bazen cebir problemlerinde ortaya çıkarlar. Karmaşık bir sayının genel biçimi yapılarını gösterir:
z = bir + bi
Neredezkarmaşık sayıyı etiketler,birherhangi bir sayıyı ("gerçek" kısım olarak adlandırılır) temsil eder vebher ikisi de pozitif veya negatif olabilen başka bir sayıyı ("hayali" kısım olarak adlandırılır) temsil eder. Yani örnek bir karmaşık sayı:
z = 2 -4i
Negatif sayıların tüm karekökleri aşağıdakilerin katları ile gösterilebildiğindenben, bu tüm karmaşık sayıların formudur. Teknik olarak, normal bir sayı sadece karmaşık bir sayının özel bir durumunu tanımlar.b= 0, yani tüm sayılar karmaşık olarak kabul edilebilir.
Karmaşık Sayılarla Cebir İçin Temel Kurallar
Karmaşık sayıları toplamak ve çıkarmak için, gerçek ve sanal kısımları ayrı ayrı toplamanız veya çıkarmanız yeterlidir. Yani karmaşık sayılar içinz = 2 – 4benvew = 3 + 5ben, toplam:
\begin{hizalanmış} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + ben \end{hizalandım}
Sayıları çıkarmak aynı şekilde çalışır:
\begin{hizalı} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{hizalı }
Çarpma, karmaşık sayılarla yapılan başka bir basit işlemdir, çünkü sıradan çarpma gibi çalışır, ancak bunu hatırlamanız gerekir.ben2 = −1. Yani 3 hesaplamak içinben × −4ben:
3i × -4i = -12i^2
Ama o zamandan beriben2= -1, o zaman:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Tam karmaşık sayılarla (kullanarakz = 2 – 4benvew = 3 + 5bentekrar), bunları ( gibi sıradan sayılarla yaptığınız gibi çarparsınız)bir + b) (c + d), “ilk, iç, dış, son” (FOIL) yöntemini kullanarak, (bir + b) (c + d) = AC + M.Ö + reklam + bd. Hatırlamanız gereken tek şey, herhangi bir örneğini basitleştirmektir.ben2. Yani mesela:
\begin{hizalanmış} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{hizalı}
Karmaşık Sayıları Bölme
Karmaşık sayıları bölmek, kesrin payını ve paydasını, paydanın karmaşık eşleniği ile çarpmayı içerir. Karmaşık eşleniği, karmaşık sayının sanal kısmı ters çevrilmiş olan versiyonu anlamına gelir. İçin böylecez = 2 – 4ben, karmaşık eşlenikz = 2 + 4ben, ve içinw = 3 + 5ben, w = 3 −5ben. Sorun için:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Gerekli olan eşlenikw*. Pay ve paydayı buna bölerek şunu elde edin:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Ve sonra önceki bölümde olduğu gibi çalışırsınız. Pay şunları verir:
\begin{hizalanmış} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{hizalı}
Ve payda şunu verir:
\begin{hizalanmış} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{hizalı}
Bu şu anlama gelir:
\begin{hizalanmış} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{hizalı}
Karmaşık Sayıları Basitleştirme
Karmaşık ifadeleri basitleştirmek için yukarıdaki kuralları gerektiği gibi kullanın. Örneğin:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Bu, payda toplama kuralı, paydada çarpma kuralı kullanılarak ve ardından bölme tamamlanarak basitleştirilebilir. numaratör için:
(4 + 2i) + (2 - ben) = 6 + ben
Payda için:
\begin{hizalı} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{hizalı}
Bunları yerine koymak şunları verir:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Her iki kısmı paydanın eşleniği ile çarpmak şu sonuca varır:
\begin{hizalanmış} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{hizalanmış}
Yani bu şu anlama geliyorzaşağıdaki gibi basitleştirir:
\begin{hizalanmış} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{hizalanmış}