dönme kinetik enerjisibir nesnenin dönüşünden veya dairesel hareketinden kaynaklanan hareket enerjisini tanımlar. Hatırlamaklineer kinetik enerjibir kütleninmhızla hareket etmekv1/2mv ile verilir2. Bu, düz bir yolda hareket eden herhangi bir nesne için basit bir hesaplamadır. Nesnenin kütle merkezine uygulanır ve nesnenin bir nokta kütle olarak yaklaştırılmasına izin verir.
Şimdi, daha karmaşık bir hareket geçiren uzamış bir cismin kinetik enerjisini tanımlamak istersek, hesaplama daha zor hale gelir.
Uzatılmış nesneyi her biri birer birer yaklaşık olarak tahmin edilebilecek küçük parçalara bölerek ardışık yaklaşımlar yapabiliriz. nokta kütlesini hesaplayın ve ardından her bir nokta kütlesi için doğrusal kinetik enerjiyi ayrı ayrı hesaplayın ve hepsini toplayarak toplamını bulmak için toplayın. nesne. Nesneyi ne kadar küçük parçalara ayırırsak, yaklaşım o kadar iyi olur. Parçaların sonsuz küçük olduğu limitte bu, kalkülüs ile yapılabilir.
Ama şanslıyız! Dönme hareketi söz konusu olduğunda, bir sadeleştirme var. Dönen bir nesne için, dönme ekseni etrafındaki kütle dağılımını eylemsizlik momenti cinsinden tanımlarsak,
ben, daha sonra bu makalenin ilerleyen bölümlerinde tartışılacak olan basit bir dönme kinetik enerji denklemini kullanabiliriz.Eylemsizlik Momenti
eylemsizlik momentibir nesnenin belirli bir eksen etrafındaki dönme hareketini değiştirmesine neden olmanın ne kadar zor olduğunun bir ölçüsüdür. Dönen bir nesnenin eylemsizlik momenti, yalnızca nesnenin kütlesine değil, aynı zamanda bu kütlenin dönme ekseni etrafında nasıl dağıldığına da bağlıdır. Kütlenin dağıldığı eksenden ne kadar uzak olursa, dönme hareketini değiştirmek o kadar zor olur ve dolayısıyla eylemsizlik momenti o kadar büyük olur.
Eylemsizlik momenti için SI birimleri kgm'dir.2 (bu, kütleye ve dönme ekseninden uzaklığa bağlı olduğu fikrimizle tutarlıdır). Farklı nesneler için eylemsizlik momentleri bir tabloda veya hesaptan bulunabilir.
İpuçları
Herhangi bir nesne için atalet momenti, bir nokta kütlesinin atalet momenti için hesap ve formül kullanılarak bulunabilir.
Dönme Kinetik Enerji Denklemi
Dönme kinetik enerjisi formülü şu şekilde verilir:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
Neredebennesnenin eylemsizlik momentidir veωnesnenin saniyedeki radyan cinsinden açısal hızıdır (rad/s). Dönme kinetik enerjisi için SI birimi joule'dür (J).
Dönme kinetik enerji formülünün biçimi, öteleme kinetik enerji denklemine benzer; atalet momenti kütlenin rolünü oynar ve açısal hız doğrusal hızın yerini alır. Dönel kinetik enerji denkleminin bir nokta kütle için lineer denklemin verdiği sonucun aynısını verdiğine dikkat edin.
Bir nokta kütlesi hayal edersekmyarıçaplı bir daire içinde hareket etmekrhız ilev, açısal hızı ω = v/r ve eylemsizlik momenti mr2. Her iki kinetik enerji denklemi de beklendiği gibi aynı sonucu verir:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Bir nesne hem dönüyorsa hem de kütle merkezi düz bir hat boyunca hareket ediyorsa (örneğin yuvarlanan bir lastikte olduğu gibi), o zamantoplam kinetik enerjidönme kinetik enerjisi ve öteleme kinetik enerjilerinin toplamıdır:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Dönme Kinetik Enerji Formülünü Kullanan Örnekler
Dönme kinetik enerji formülünün birçok uygulaması vardır. Dönen bir cismin basit kinetik enerjisini hesaplamak için, kinetik enerjisini hesaplamak için kullanılabilir. yuvarlanan bir nesne (hem dönme hem de öteleme hareketi yapan bir nesne) ve diğerlerini çözmek için bilinmeyenler Aşağıdaki üç örneği göz önünde bulundurun:
Örnek 1:Dünya yaklaşık 24 saatte bir kendi ekseni etrafında döner. Düzgün bir yoğunluğa sahip olduğunu varsayarsak, dönme kinetik enerjisi nedir? (Dünyanın yarıçapı 6.37 × 106 m ve kütlesi 5.97 × 1024 kilogram.)
Dönme kinetik enerjisini bulmak için önce eylemsizlik momentini bulmalıyız. Dünya'yı katı bir küre olarak yaklaştırarak şunları elde ederiz:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5,97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9,69\times10^{37}\text{ kgm}^2
Açısal hız 2π radyan/gün'dür. Bunu rad/s'ye dönüştürmek şunları verir:
2\pi\frac{\text{radyan}}{\cancel{\text{gün}}}\frac{1\cancel{\text{ gün}}}{86400\text{ saniye}} = 7,27\times10^ {-5} \text{ rad/s}
O halde Dünya'nın dönme kinetik enerjisi:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\times 10^{29}\text{ J}
Eğlenceli gerçek: Bu, güneşin bir dakikada ortaya çıkardığı toplam enerjinin 10 katından fazla!
Örnek 2:Kütlesi 0,75 kg ve yarıçapı 0,1 m olan düzgün bir silindir zeminde 4 m/s sabit hızla yuvarlanmaktadır. Kinetik enerjisi nedir?
Toplam kinetik enerji şu şekilde verilir:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
Bu durumda, ben = 1/2 mr2 katı bir silindir için atalet momentidir veωω = v/r üzerinden doğrusal hız ile ilgilidir.
Toplam kinetik enerji ifadesini basitleştirmek ve değerleri takmak şunları verir:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0,75\text{ kg}) (4\text{ m/s}) = 2,25\text{ J}
Yarıçapı kullanmamıza bile gerek olmadığını unutmayın! Dönme hızı ile doğrusal hız arasındaki doğrudan ilişki nedeniyle iptal edildi.
Örnek 3:Bisikletli bir öğrenci dinlenmeden bir tepeden aşağı iniyor. Tepenin dikey yüksekliği 30 m ise, öğrenci tepenin altında ne kadar hızlı gidiyor? Bisikletin 8 kg, sürücünün 50 kg, her bir tekerleğin 2,2 kg (bisiklet ağırlığına dahildir) ve her bir tekerleğin 0,7 m çapında olduğunu varsayalım. Tekerlekleri çember olarak tahmin edin ve sürtünmenin ihmal edilebilir olduğunu varsayın.
Burada nihai hızı bulmak için mekanik enerji korunumunu kullanabiliriz. Tepenin tepesindeki potansiyel enerji, altta kinetik enerjiye dönüşür. Bu kinetik enerji, tüm insan + bisiklet sisteminin öteleme kinetik enerjisinin ve lastiklerin dönme kinetik enerjilerinin toplamıdır.
Sistemin toplam enerjisi:
E_{tot} = PE_{üst} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9,8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17.052\ metin
Tepenin altındaki kinetik enerji cinsinden toplam enerji formülü:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{lastikler}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{lastik} \times r_{lastik}^2)(v/r_{lastik})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{lastik}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{lastik} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
için çözmevverir:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{lastik} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Son olarak, sayıları ekleyerek cevabımızı alıyoruz:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2.2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23.4 \text{ m/s}