İstatistikte, Gauss veya normal dağılım, karmaşık sistemleri birçok faktörle karakterize etmek için kullanılır. Stephen Stigler'in İstatistik Tarihi'nde anlatıldığı gibi, Abraham De Moivre, Karl Fredrick Gauss'un adını taşıyan dağıtımı icat etti. Gauss'un katkısı, verilerin en uygun çizgiyle uydurulmasındaki hatayı en aza indirgemek için en küçük karelere dağılım yaklaşımını uygulamasında yatmaktadır. Böylece istatistikteki en önemli hata dağılımını yaptı.
Motivasyon
Bir veri örneğinin dağılımı nedir? Ya verilerin temel dağılımını bilmiyorsanız? Temel dağılımı bilmeden verilerle ilgili hipotezleri test etmenin bir yolu var mı? Merkezi Limit Teoremi sayesinde cevap evet.
Teoremin Açıklaması
Sonsuz bir popülasyondan alınan bir numune ortalamasının yaklaşık olarak normal veya ortalama ile Gaussian olduğunu belirtir. temel popülasyonla aynı ve varyans, örneklem tarafından bölünen popülasyon varyansına eşit boyut. Örneklem boyutu büyüdükçe yaklaşım iyileşir.
Yaklaşım ifadesi bazen normal dağılıma yakınsama hakkında bir sonuç olarak yanlış ifade edilir. Örneklem büyüklüğü arttıkça yaklaşık normal dağılım değiştiği için böyle bir ifade yanıltıcıdır.
Teorem, Pierre Simon Laplace tarafından geliştirilmiştir.
Neden Her Yerde
Normal dağılımlar her yerde mevcuttur. Nedeni Merkezi Limit Teoremi'nden geliyor. Çoğu zaman, bir değer ölçüldüğünde, birçok bağımsız değişkenin toplam etkisidir. Bu nedenle, ölçülen değerin kendisi için bir örnek ortalama kalitesi vardır. Örneğin, diyet, antrenman, genetik, koçluk ve psikolojideki farklılıkların bir sonucu olarak sporcu performanslarının dağılımı bir çan şeklinde olabilir. Erkeklerin boyları bile normal bir dağılıma sahiptir ve birçok biyolojik faktörün bir fonksiyonudur.
Gauss Kopulaları
Gauss dağılımına sahip “kopula işlevi” olarak adlandırılan şey, teminatlı tahvillere yatırım riskinin değerlendirilmesinde kullanılması nedeniyle 2009 yılında haberlerde yer aldı. İşlevin kötüye kullanılması, 2008-2009 mali krizinde etkili oldu. Krizin pek çok nedeni olmasına rağmen, geriye dönüp bakıldığında muhtemelen Gauss dağılımlarının kullanılmaması gerekirdi. Daha kalın bir kuyruğu olan bir fonksiyon, ters olaylara daha fazla olasılık verirdi.
türetme
Merkezi Limit Teoremi, (örnek)'nin moment üreten fonksiyonu (mgf) analiz edilerek birçok satırda kanıtlanabilir. ortalama - popülasyon ortalaması)/?(popülasyon varyansı / örneklem büyüklüğü), temel alınan popülasyonun mgf'sinin bir fonksiyonu olarak. Teoremin yaklaşıklık kısmı, temel popülasyonun mgf'sini bir güç serisi olarak genişleterek tanıtılır, ardından örnek boyutu büyüdükçe çoğu terimin önemsiz olduğunu gösterir.
Aynı fonksiyonun karakteristik denklemi üzerinde bir Taylor açılımı kullanılarak ve örnek boyutunun büyütülmesiyle çok daha az satırda kanıtlanabilir.
Hesaplama Kolaylığı
Bazı istatistiksel modeller, hataların Gauss olduğunu varsayar. Bu, hipotez testinde kullanılmak üzere ki-kare ve F-dağılımı gibi normal değişkenlerin fonksiyonlarının dağılımlarını mümkün kılar. Spesifik olarak, F testinde, F istatistiği, kendileri normal bir varyans parametresinin fonksiyonları olan ki-kare dağılımlarının bir oranından oluşur. İkisinin oranı, varyansın yok olmasına neden olarak, normallik ve sabitliklerinin yanı sıra varyanslar hakkında bilgi sahibi olmadan hipotez testini mümkün kılar.