Fonksiyonları entegre etmek, kalkülüsün temel uygulamalarından biridir. Bazen, bu, aşağıdaki gibi basittir:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
Bu türün nispeten karmaşık bir örneğinde, belirsiz integralleri entegre etmek için temel formülün bir sürümünü kullanabilirsiniz:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
neredebirveCsabitlerdir.
Böylece bu örnek için,
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Temel Karekök Fonksiyonlarının Entegrasyonu
Yüzeyde, bir karekök işlevini entegre etmek zor. Örneğin, aşağıdakiler tarafından engellenmiş olabilirsiniz:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Ancak bir karekökü üs, 1/2 olarak ifade edebilirsiniz:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Bu nedenle integral şu hale gelir:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
her zamanki formülü yukarıdan uygulayabileceğiniz:
\begin{hizalanmış} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{hizalı}
Daha Karmaşık Karekök Fonksiyonlarının Entegrasyonu
Bazen, bu örnekte olduğu gibi, kök işaretinin altında birden fazla teriminiz olabilir:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Kullanabilirsinizsen- devam etmek için ikame. işte sen ayarlasenpaydadaki miktara eşit:
u = \sqrt{x - 3}
Bunu çözxher iki tarafın karesini alıp çıkararak:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Bu, açısından dx elde etmenizi sağlarsentürevi alınarakx:
dx = (2u) du
Orijinal integrale geri koymak,
\begin{hizalanmış} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{hizalı}
Şimdi bunu temel formülü kullanarak ve ifade ederek entegre edebilirsiniz.senaçısındanx:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{hizalı}