İrrasyonel bir sayı göründüğü kadar korkutucu değildir; bu sadece basit bir kesir olarak ifade edilemeyen bir sayı ya da başka bir deyişle, bir irrasyonel sayı, sonsuz sayıda basamaktan sonra devam eden hiç bitmeyen bir ondalık sayıdır. ondalık nokta. Rasyonel sayılarda yaptığınız gibi çoğu işlemi irrasyonel sayılarda yapabilirsiniz, ancak karekök almaya gelince, değeri tahmin etmeyi öğrenmeniz gerekecek.
İrrasyonel Sayı nedir?
Peki irrasyonel sayı nedir? Çok ünlü iki irrasyonel sayıya zaten aşina olabilirsiniz: π veya "pi", hemen hemen her zaman 3.14 olarak kısaltılır, ancak aslında ondalık noktanın sonsuz sağında devam eder; ve genellikle 2.71828 olarak kısaltılan ancak aynı zamanda ondalık noktanın sonsuz sağında devam eden "e", diğer adıyla Euler sayısı.
Ama dışarıda çok daha fazla irrasyonel sayı var ve bunlardan bazılarını bulmanın kolay bir yolu: karekök işaretinin altındaki sayı tam kare değilse, o zaman bu karekök irrasyoneldir numara.
Bu çok büyük bir ağız dolusu, işte bunu açıklığa kavuşturmak için bir örnek. Ayrıca, tam karenin, karekökü bir tam sayı olan bir sayı olduğunu hatırlamaya yardımcı olur:
√8 irrasyonel bir sayı mıdır?Mükemmel karelerinizi ezberlediyseniz veya onlara bakmak için zaman ayırdıysanız, bunu bileceksiniz.
\sqrt{4} = 2 \text{ ve } \sqrt{9} = 3
√8 bu iki sayı arasında olduğundan, ancak kökü olacak 2 ile 3 arasında bir tam sayı olmadığından, √8 irrasyoneldir.
İrrasyonel Sayının Karekökünü Almak
İrrasyonel bir sayının karekökünü hesaplamaya gelince, iki seçeneğiniz var. İrrasyonel sayıyı bir hesap makinesine veya çevrimiçi bir karekök hesap makinesine koyun (bkz. Kaynaklar), bu durumda hesap makinesi sizin için yaklaşık bir değer döndürür – veya değeri tahmin etmek için dört aşamalı bir süreç kullanabilirsiniz kendin.
Örnek 1:√8 irrasyonel sayısının değerini tahmin edin.
Sayı doğrusunda √8'in her iki tarafında olacak tam kareleri bulun. Bu durumda √4 = 2 ve √9 = 3. Hedef numaranıza en yakın olanı seçin. 8, 9'a 4'ten çok daha yakın olduğundan,
\sqrt{9} = 3
Ardından, kökünü istediğiniz sayıyı - 8 - tahmininize bölün. Örneğe devam ederek, şunları elde edersiniz:
\frac{8}{3} = 2,67
Şimdi, Adım 2'deki bölen ile Adım 2'deki sonucun ortalamasını bulun. Burada bu, ortalama 3 ve 2,67 anlamına gelir. Önce iki sayıyı toplayın ve sonra ikiye bölün:
3 + 2.67 = 5.6667
(Bu aslında 5.6666666666 tekrar eden ondalık sayıdır, ancak kısa olması için dört ondalık basamağa yuvarlanmıştır.)
\frac{5.6667}{2} = 2.83335
Adım 3'ün sonucu hala kesin değil, ancak giderek yaklaşıyor. Adım 2'deki sonucu her seferinde Adım 2'deki yeni bölen olarak kullanarak Adım 2 ve 3'ü gerektiği kadar tekrarlayın.
Örneğe devam etmek için, 8'i Adım 3'ün (2.83335) sonucuna bölersiniz, bu da size şunları verir:
\frac{8}{2.83335} = 2.8235
(Yine, kısa olması için dört ondalık basamağa yuvarlama.)
Ardından, bölmenizin sonucunu bölenle ortalamanız gerekir, bu da size şunları verir:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \,\\ \frac{5.65685}{2} = 2.828425
Bu işleme devam edebilir, yanıt istediğiniz kadar kesin olana kadar 2. ve 3. Adımları gerektiği kadar tekrarlayabilirsiniz.
Peki ya İrrasyonel Karekökler?
Bazen bir irrasyonel sayının karekökünü bulmak yerine, karekök biçiminde ifade edilen irrasyonel sayılarla uğraşmanız gerekir – öğreneceğiniz en ünlülerden biri √2'dir.
√2 ile yukarıda açıklandığı gibi değerini tahmin etmenin dışında yapabileceğiniz pek bir şey yok. Ancak karekök biçiminde daha büyük bir irrasyonel sayı elde ederseniz, bazen şu gerçeği kullanabilirsiniz:
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
cevabı daha basit bir biçimde yeniden yazmak için.
İrrasyonel karekök √32'yi düşünün. Temel kökü (yani, negatif olmayan, tamsayı kökü) olmamasına rağmen, onu tanıdık bir ana köke sahip bir şeye çarpanlarına ayırabilirsiniz:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
√2 ile hala pek bir şey yapamazsınız, ancak √16 = 4, yani bunu bir adım daha ileri götürüp şöyle yazabilirsiniz.
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Kök işaretini tamamen ortadan kaldırmamış olsanız da, bu irrasyonel sayıyı tam değerini korurken basitleştirdiniz.