Bir Fonksiyonun Periyodu Nasıl Bulunur?

Trigonometrik fonksiyonların grafiğini çizdiğinizde, bunların periyodik olduklarını keşfedersiniz; yani, tahmin edilebilir şekilde tekrar eden sonuçlar üretirler. Belirli bir fonksiyonun periyodunu bulmak için, her birine ve kullanımlarındaki varyasyonların periyodu nasıl etkilediğine biraz aşina olmanız gerekir. Nasıl çalıştıklarını anladıktan sonra, trig fonksiyonlarını ayırabilir ve dönemi sorunsuz bir şekilde bulabilirsiniz.

TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu 2π (pi) radyan veya 360 derecedir. Tanjant fonksiyonu için periyot π radyan veya 180 derecedir.

Bunları bir grafik üzerinde çizdiğinizde, trigonometrik fonksiyonlar düzenli olarak tekrar eden dalga şekilleri üretir. Herhangi bir dalga gibi, şekillerin de tepeler (yüksek noktalar) ve çukurlar (düşük noktalar) gibi tanınabilir özellikleri vardır. Periyot size, genellikle iki bitişik tepe veya çukur arasında ölçülen, dalganın bir tam döngüsünün açısal "mesafesini" söyler. Bu nedenle matematikte bir fonksiyonun periyodunu açı birimleriyle ölçersiniz. Örneğin, sıfır açısıyla başlayan sinüs fonksiyonu, π / 2 radyanda (90 derece) maksimum 1'e yükselen düzgün bir eğri üretir, π radyanda (180 derece) sıfırı geçer, 3π / 2 radyanda (270 derece) minimum -1'e düşer ve 2π radyanda (360 derece) tekrar sıfıra ulaşır. derece). Bu noktadan sonra döngü süresiz olarak tekrar eder ve pozitif yönde açı arttıkça aynı özellikleri ve değerleri üretir.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının her ikisinin de periyodu 2π radyandır. Kosinüs işlevi sinüse çok benzer, ancak sinüsün π / 2 radyan "ilerisinde" olması dışında. Sinüs fonksiyonu, sıfır derecede sıfır değerini alır, burada kosinüs aynı noktada 1'dir.

Sinüs'ü kosinüs'e bölerek tanjant fonksiyonunu elde edersiniz. Periyodu π radyan veya 180 derecedir. teğet grafiği (x) sıfır açısında sıfırdır, yukarı doğru kıvrılır, π / 4 radyanda (45 derece) 1'e ulaşır, sonra tekrar yukarı doğru kıvrılır ve π / 2 radyanda sıfıra bölme noktasına ulaşır. Fonksiyon daha sonra negatif sonsuz olur ve altta bir ayna görüntüsünün izini sürer. y ekseni, 3π / 4 radyanda -1'e ulaşır ve y eksen π radyan. sahip olmasına rağmen x tanımsız hale geldiği değerlerde, tanjant fonksiyonunun hala tanımlanabilir bir periyodu vardır.

Diğer üç trig fonksiyonu, kosekant, sekant ve kotanjant, sırasıyla sinüs, kosinüs ve tanjantın tersidir. Başka bir deyişle, kosekant (x) 1 / günahtır(x), sekant(x) = 1 / cos(x) ve karyola(x) = 1 / tan(x). Grafikleri tanımsız noktalara sahip olsa da, bu fonksiyonların her birinin periyotları sinüs, kosinüs ve tanjant ile aynıdır.

çarparak x trigonometrik bir fonksiyonda bir sabitle, periyodunu kısaltabilir veya uzatabilirsiniz. Örneğin, sin (2_x_) işlevi için, nokta, bağımsız değişken nedeniyle normal değerinin yarısıdır. x iki katına çıkar. İlk maksimumuna π / 2 yerine π / 4 radyanda ulaşır ve bir tam çevrimi π radyan olarak tamamlar. Trig işlevlerinde yaygın olarak gördüğünüz diğer faktörler, faz ve genlikteki değişiklikleri içerir; burada faz, grafikteki başlangıç ​​noktası ve genlik, minimumdaki negatif işareti yok sayarak, fonksiyonun maksimum veya minimum değeridir. Örneğin 4 × sin (2_x_ + π) ifadesi, 4 çarpanı nedeniyle maksimumda 4'e ulaşır ve periyoda eklenen π sabiti nedeniyle yukarı değil aşağı doğru kıvrılarak başlar. Ne 4 ne de π sabitlerinin fonksiyonun periyodunu etkilemediğini, sadece başlangıç ​​noktasını ve maksimum ve minimum değerlerini etkilediğine dikkat edin.