İki sayının en büyük ortak faktörünü veya GCF'yi bulmak, matematikteki birçok durumda, özellikle de kesirleri basitleştirme söz konusu olduğunda yararlıdır. Bununla mücadele ediyorsanız veya ortak paydalar buluyorsanız, ortak faktörleri bulmak için iki yöntem öğrenmek, yapmaya karar verdiğiniz şeyi başarmanıza yardımcı olacaktır. İlk olarak, faktörlerin temellerini öğrenmek iyi bir fikirdir; daha sonra ortak faktörleri bulmak için iki yaklaşıma bakabilirsiniz. Son olarak, bir kesri basitleştirmek için bilginizi nasıl uygulayacağınıza bakabilirsiniz.
Faktör Nedir?
Faktörler, başka bir sayı üretmek için birlikte çarptığınız sayılardır. Örneğin 2 ve 3, 6'nın çarpanlarıdır çünkü 2 × 3 = 6'dır. Benzer şekilde 3 ve 3 de 9'un çarpanlarıdır çünkü 3 × 3 = 9'dur. Bildiğiniz gibi asal sayılar, kendisinden ve 1'den başka çarpanı olmayan sayılardır. Yani 3 bir asal sayıdır, çünkü cevap olarak 3'ü vermek için birlikte çarpabilen sadece iki tam sayı (tam sayı) 3 ve 1'dir. Aynı şekilde 7 asal sayıdır ve 13 de asal sayıdır.
Bu nedenle, bir sayıyı "asal faktörlere" bölmek genellikle yararlıdır. Bu, başka bir sayının tüm asal sayı faktörlerini bulmak anlamına gelir. Temel olarak, sayıyı temel “yapı taşlarına” ayırır, bu da doğru bir adımdır. iki sayının en büyük ortak bölenini bulma ve kareyi sadeleştirme söz konusu olduğunda da çok değerlidir. kökler.
En Büyük Ortak Faktörü Bulma: Birinci Yöntem
İki sayının en büyük ortak çarpanını bulmanın en basit yöntemi, her sayının tüm çarpanlarını basitçe listelemek ve her ikisinin de paylaştığı en yüksek sayıyı aramaktır. 45 ve 60'ın en yüksek ortak çarpanını bulmak istediğinizi düşünün. İlk önce, 45 elde etmek için çarpabileceğiniz farklı sayılara bakın.
Başlamanın en kolay yolu, bir asal sayı için bile işe yarayacağını bildiğiniz iki sayıdır. Bu durumda 1 × 45 = 45 biliyoruz, yani 1 ve 45'in 45'in çarpanları olduğunu biliyoruz. Bunlar 45'in ilk ve son çarpanlarıdır, yani oradan doldurabilirsiniz. Ardından, 2'nin bir faktör olup olmadığını öğrenin. Bu kolaydır, çünkü herhangi bir çift sayı 2'ye bölünebilir ve hiçbir tek sayı bölünemez. Yani 2'nin 45'in bir çarpanı olmadığını biliyoruz. Peki ya 3? 3'ün 45'in bir faktörü olduğunu fark edebilmelisiniz, çünkü 3 × 15 = 45 (her zaman istediğinizi inşa edebilirsiniz). Bunu çözmeyi bilin, örneğin, 3 × 12 = 36 olduğunu bileceksiniz ve buna üçler eklemek sizi 45).
Sonra, 4, 45'in bir çarpanı mı? Hayır - 11 × 4 = 44'ü biliyorsunuz, bu yüzden olamaz! Peki ya 5? Bu başka bir kolay, çünkü 0 veya 5 ile biten herhangi bir sayı 5'e bölünebilir. Ve bununla 5 × 9 = 45 olduğunu kolayca tespit edebilirsiniz. Ama 6 iyi değil çünkü 7 × 6 = 42 ve 8 × 6 = 48. Buradan 7 ve 8'in 45'in çarpanları olmadığını da görebilirsiniz. 9'un zaten olduğunu biliyoruz ve 10 ile 11'in faktör olmadığını görmek kolay. Bu işleme devam edin ve 15'in bir faktör olduğunu göreceksiniz, ancak başka hiçbir şey değil.
45'in çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15 ve 45.
60 için, aynı süreçten geçersiniz. Bu sefer sayı çift (yani 2'nin bir faktör olduğunu biliyorsunuz) ve 10'a bölünebiliyor (yani 5 ve 10'un her ikisi de faktör), bu da işleri biraz daha kolaylaştırıyor. İşlemi tekrar yaptıktan sonra 60'ın çarpanlarının 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 olduğunu görmelisiniz.
İki listenin karşılaştırılması, 15'in 45 ve 60'ın en büyük ortak çarpanı olduğunu gösterir. Bu yöntem zaman alıcı olabilir, ancak basittir ve her zaman işe yarayacaktır. Ayrıca hemen fark edebileceğiniz herhangi bir yüksek ortak faktörden başlayabilir ve ardından her sayının daha yüksek faktörlerini arayabilirsiniz.
En Büyük Ortak Faktörü Bulma: İkinci Yöntem
İki sayı için GCF'yi bulmanın ikinci yöntemi, asal çarpanları kullanmaktır. Asal çarpanlara ayırma işlemi, her faktörü bulmaktan biraz daha kolay ve daha yapılandırılmıştır. 42 ve 63 için süreci gözden geçirelim.
Asal çarpanlara ayırma işlemi, temel olarak, yalnızca asal sayılarla kalana kadar sayıyı bölmeyi içerir. En küçük asal sayıyla (iki) başlamak ve oradan çalışmak en iyisidir. 42 için 2 × 21 = 42 olduğunu görmek kolaydır. O zaman 21'den itibaren çalışın: 2 bir faktör mü? Hayır. 3 mü? Evet! 3 × 7 = 21 ve 3 ve 7 asal sayılardır. Bu, 42'nin asal çarpanlarının 2, 3 ve 7 olduğu anlamına gelir. İlk "break" 21'e ulaşmak için 2'yi kullandı ve ikincisi bunu 3 ve 7'ye indirdi. Bunu, tüm faktörlerinizi birlikte çarparak ve orijinal sayıyı elde ettiğinizi kontrol ederek kontrol edebilirsiniz: 2 × 3 × 7 = 42.
63 için 2 bir faktör değil, 3, çünkü 3 × 21 = 63. Yine 21, 3 ve 7'ye bölünür – ikisi de asaldır – böylece asal çarpanları bilirsiniz! Kontrol, gerektiği gibi 3 × 3 × 7 = 63 olduğunu gösterir.
İki sayının ortak olduğu asal çarpanlarına bakarak en yüksek ortak çarpanı bulursunuz. Bu durumda 42, 2, 3 ve 7'ye ve 63'te 3, 3 ve 7'ye sahiptir. 3 ve 7 ortak noktaları var. En büyük ortak çarpanı bulmak için ortak asal çarpanların hepsini çarparız. Bu durumda, 3 × 7 = 21, yani 21, 42 ve 63'ün en büyük ortak çarpanıdır.
Bir önceki örnek de bu şekilde daha hızlı çözülebilir. 45 üçe bölünebildiğinden (3 × 15 = 45) ve 15 de üçe bölünebildiğinden (3 × 5 = 15), 45'in asal çarpanları 3, 3 ve 5'tir. 60 için, ikiye bölünebilir (2 × 30 = 60), 30 da ikiye bölünebilir (2 × 15 = 30) ve sonra 15 ile kalırsınız, ki bunun asal çarpanları olarak üç ve beş olduğunu bildiğimiz, 2, 2, 3 ve 5'i bırakarak. İki liste karşılaştırıldığında, üç ve beş ortak asal çarpanlardır, dolayısıyla en büyük ortak çarpan 3 × 5 = 15'tir.
Üç veya daha fazla ortak asal çarpan olması durumunda, en büyük ortak çarpanı bulmak için hepsini aynı şekilde çarparsınız.
Kesirleri Ortak Faktörlerle Sadeleştirme
Size 32/96 gibi bir kesir sunulursa, kesri basitleştirmenin bir yolunu bulamadığınız sürece, ondan sonra gelen herhangi bir hesaplamayı çok karmaşık hale getirebilir. 32 ve 96'nın en küçük ortak faktörünü bulmak, daha basit bir kesir elde etmek için her ikisine de bölmeniz gereken sayıyı söyleyecektir. Bu durumda:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{Öyleyse } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96 için süreç şunları verir:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{Öyleyse } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Açık olmalı ki 25 = 32 en yüksek ortak faktördür. Kesirin her iki parçasını da 32'ye bölmek:
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Ortak paydaları bulmak da benzer bir süreçtir. 15/45 ve 40/60 kesirlerini toplamanız gerektiğini hayal edin. İlk örnekten 15'in 45 ve 60'ın en büyük ortak çarpanı olduğunu biliyoruz, dolayısıyla bunları hemen 5/15 ve 10/15 olarak ifade edebiliriz. 3 × 5 = 15 ve her iki pay da beşe bölünebildiğinden, 1/3 ve 2/3 elde etmek için her iki kesrin her iki kısmını da beşe bölebiliriz. Artık bunları eklemek ve görmek çok daha kolay
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1