Trigonometri ve kalkülüs yapmaya başladığınızda, sin gibi ifadelerle karşılaşabilirsiniz (2θ), değerini bulmanız istendiğindeθ. Cevabı bulmak için çizelgeler veya hesap makinesi ile deneme yanılma yapmak, uzun bir kabustan tamamen imkansıza kadar değişebilir. Neyse ki, çift açılı kimlikler yardım etmek için burada. Bunlar, formların işlevlerini bozan bileşik formül olarak bilinen şeyin özel örnekleridir (bir + B) veya (bir – B) sadece işlevlerinebirveB.
Sinüs İçin Çift Açılı Kimlikler
Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonları için birer tane olmak üzere üç çift açılı özdeşlik vardır. Ancak sinüs ve kosinüs kimlikleri birçok şekilde yazılabilir. Sinüs fonksiyonu için çift açılı özdeşliği yazmanın iki yolu:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Kosinüs için Çift Açılı Kimlikler
Kosinüs için çift açılı özdeşlik yazmanın daha da fazla yolu vardır:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
Tanjant için Çift Açılı Kimlik
Neyse ki, tanjant işlevi için çift açılı özdeşliği yazmanın tek bir yolu var:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Çift Açılı Kimlikleri Kullanma
Kenarlarının uzunluğunu bildiğiniz, ancak açılarının ölçüsünü bilmediğiniz bir dik üçgenle karşı karşıya olduğunuzu hayal edin. bulman istendiθ, neredeθüçgenin açılarından biridir. Üçgenin hipotenüsü 10 birim ise, açınıza bitişik kenar 6 birimdir. ve açının karşısındaki kenar 8 birim ölçüyor, ölçüsünü bilmemeniz önemli değilθ; cevabı bulmak için sinüs ve kosinüs bilginizi artı çift açılı formüllerden birini kullanabilirsiniz.
Bir açı seçtikten sonra, sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranı ve kosinüsü de bitişik tarafın hipotenüse oranı olarak tanımlayabilirsiniz. Yani az önce verilen örnekte, sahip olduğunuz:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Bu iki ifadeyi buluyorsunuz çünkü bunlar çift açılı formüller için en önemli yapı taşları.
Aralarından seçim yapabileceğiniz çok sayıda çift açılı formül olduğundan, hesaplanması daha kolay görünen ve ihtiyacınız olan bilgi türünü döndürecek olanı seçebilirsiniz. Bu durumda, günahı bildiğin içinθve çünküθşimdiden, en uygun ifadenin şu olduğu açıktır:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
sinθ ve cos values değerlerini zaten biliyorsunuz, bu yüzden bunları denklemde yerine koyun:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Basitleştirdikten sonra, sahip olacaksınız:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
Çoğu trigonometrik çizelge ondalık sayılarla verilmiştir, bu nedenle bir sonraki adımda kesir tarafından temsil edilen bölümü ondalık biçime dönüştürmek için çalışın. Şimdi sahipsin:
\sin (2θ) = 0.96
Son olarak, günah olarak yazılan 0.96'nın ters sinüsünü veya arksinüsünü bulun. −1(0.96). Veya başka bir deyişle, sinüsü 0.96 olan açıyı yaklaşık olarak hesaplamak için hesap makinenizi veya bir çizelgeyi kullanın. Görünüşe göre, bu neredeyse tam olarak 73,7 dereceye eşittir. yani 2θ= 73,7 derece.
Denklemin her tarafını 2'ye bölün. Bu size şunları sağlar:
θ = 36,85 \text{ derece}