Matematikte, bir ifadeyi çürütmek için bir karşı örnek kullanılır. Bir ifadenin doğru olduğunu kanıtlamak istiyorsanız, her zaman doğru olduğunu kanıtlamak için bir kanıt yazmalısınız; örnek vermek yeterli değildir. Bir ispat yazmakla karşılaştırıldığında, bir karşı örnek yazmak çok daha basittir; Bir ifadenin doğru olmadığını göstermek istiyorsanız, yalnızca ifadenin yanlış olduğu bir senaryo örneği sağlamanız gerekir. Cebirdeki çoğu karşı örnek, sayısal manipülasyonları içerir.
İki Matematik Sınıfı
Kanıt yazma ve karşı örnek bulma, matematiğin temel sınıflarından ikisidir. Çoğu matematikçi, yeni teoremler ve özellikler geliştirmek için ispat yazmaya odaklanır. İfadelerin veya varsayımların doğruluğu kanıtlanamadığında, matematikçiler karşı örnekler vererek onları çürütürler.
Karşı Örnekler Somuttur
Bir argümanı çürütmek için değişkenler ve soyut notasyonlar kullanmak yerine sayısal örnekler kullanabilirsiniz. Cebirde, çoğu karşı örnek, farklı pozitif ve negatif veya tek ve çift sayılar, aşırı durumlar ve 0 ve 1 gibi özel sayılar kullanarak manipülasyonu içerir.
Bir Karşı Örnek Yeterlidir
Karşı örneğin felsefesi, eğer bir senaryoda ifade doğru değilse, o zaman ifade yanlıştır. Matematik dışı bir örnek, "Tom asla yalan söylemedi." Bu ifadenin doğru olduğunu göstermek için, Tom'un şimdiye kadar yaptığı her açıklamayı izleyerek Tom'un asla yalan söylemediğine dair "kanıt" sağlamalısınız. Ancak, bu ifadeyi çürütmek için Tom'un şimdiye kadar konuştuğu tek bir yalanı göstermeniz yeterlidir.
Ünlü Karşı Örnekler
"Bütün asal sayılar tektir." 3'ün üzerindeki tüm asal sayılar da dahil olmak üzere hemen hemen tüm asal sayılar tek olmasına rağmen, "2" çift olan bir asal sayıdır; bu ifade yanlıştır; "2" ilgili karşı örnektir.
"Çıkarma işlemi değişmeli." Hem toplama hem de çarpma değişmelidir - herhangi bir sırada yapılabilirler. Yani, a ve b gerçek sayıları için a + b= b + a ve a * b = b * a. Ancak, çıkarma değişmeli değildir; Bunu kanıtlayan bir karşı örnek: 3 - 5, 5 - 3'e eşit değildir.
"Her sürekli fonksiyon türevlenebilir." Mutlak fonksiyon |x| tüm pozitif ve negatif sayılar için süreklidir; ancak x = 0'da türevlenebilir değildir; |x|'den beri sürekli bir fonksiyondur, bu karşı örnek, her sürekli fonksiyonun türevlenebilir olmadığını kanıtlar.
