Bir düşman kalesinin duvarlarını yıkmayı amaçlayan bir top kullandığınızı hayal edin, böylece ordunuz saldırıp zafer talep edebilir. Topun toptan ayrıldığında ne kadar hızlı hareket ettiğini ve duvarların ne kadar uzakta olduğunu biliyorsanız, topu duvarlara başarılı bir şekilde vurmak için hangi fırlatma açısına ihtiyacınız var?
Bu bir mermi hareketi problemine bir örnektir ve bunu ve benzer birçok problemi kinematiğin sabit ivme denklemlerini ve bazı temel cebirleri kullanarak çözebilirsiniz.
mermi hareketiFizikçilerin, söz konusu nesnenin deneyimlediği tek ivmenin yerçekiminden kaynaklanan sabit aşağı doğru ivme olduğu iki boyutlu hareketi nasıl tanımladıklarıdır.
Dünya yüzeyinde sabit ivmebireşittirg= 9,8 m/s2ve fırlatma hareketi yapan bir nesneserbest düşüştek ivme kaynağı olarak bu. Çoğu durumda, bir parabolün yolunu alacaktır, dolayısıyla hareketin hem yatay hem de dikey bir bileşeni olacaktır. Gerçek hayatta (sınırlı) bir etkisi olmasına rağmen, neyse ki lise fiziğinin mermi hareketi problemlerinin çoğu hava direncinin etkisini görmezden geliyor.
değerini kullanarak mermi hareketi problemlerini çözebilirsiniz.gve merminin başlangıç hızı ve hareket yönü gibi eldeki durumla ilgili diğer bazı temel bilgiler. Bu problemleri çözmeyi öğrenmek, çoğu fizik dersini geçmek için gereklidir ve size daha sonraki derslerde ihtiyaç duyacağınız en önemli kavram ve teknikleri tanıtır.
Mermi Hareket Denklemleri
Mermi hareketi denklemleri, kinematikten alınan sabit ivme denklemleridir, çünkü yerçekimi ivmesi, göz önünde bulundurmanız gereken tek ivme kaynağıdır. Herhangi bir mermi hareketi problemini çözmek için ihtiyaç duyacağınız dört ana denklem şunlardır:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
Buraya,vhız anlamına gelir,v0 başlangıç hızıdır,birivmedir (bu, aşağı doğru ivmeye eşittir)gtüm mermi hareketi problemlerinde),syer değiştirmedir (başlangıç konumundan itibaren) ve her zaman olduğu gibi zamanınız var,t.
Bu denklemler teknik olarak sadece bir boyut içindir ve gerçekte vektör miktarlarıyla (hız dahil) temsil edilebilirler.v, ilk hızv0 vb.), ancak pratikte bu sürümleri ayrı ayrı kullanabilirsiniz.x-yön ve bir kezy-yön (ve eğer üç boyutlu bir probleminiz varsa,z-yön de).
Bunların olduğunu hatırlamak önemlidirsadece sabit hızlanma için kullanılır, bu onları yerçekiminin etkisinin tek olduğu durumları tanımlamak için mükemmel kılar. hızlanma, ancak ek kuvvetlerin gerekli olduğu birçok gerçek dünya durumu için uygun değildir. düşünülen.
Temel durumlar için, bir cismin hareketini tanımlamanız için ihtiyacınız olan tek şey budur, ancak gerekirse diğerlerini de dahil edebilirsiniz. merminin fırlatıldığı yükseklik gibi faktörler, hatta bunları merminin en yüksek noktası için çözer. yol.
Mermi Hareketi Problemlerini Çözme
Artık mermi hareketi formülünün dört versiyonunu gördüğünüze göre, bunu yapmak için kullanmanız gerekecek. sorunları çözmek için, bir fırlatma hareketini çözmek için kullandığınız stratejiyi düşünmeye başlayabilirsiniz. sorun.
Temel yaklaşım, problemi iki parçaya bölmektir: biri yatay hareket için, diğeri dikey hareket için. Buna teknik olarak yatay bileşen ve dikey bileşen denir ve her birinin karşılık gelen bir dizi yatay hız, dikey hız, yatay yer değiştirme, dikey yer değiştirme ve yakında.
Bu yaklaşımla, o zamana dikkat ederek kinematik denklemleri kullanabilirsiniz.them yatay hem de dikey bileşenler için aynıdır, ancak ilk hız gibi şeyler, ilk dikey hız ve ilk yatay hız için farklı bileşenlere sahip olacaktır.
Anlaşılması gereken en önemli şey, iki boyutlu hareket için,hiçhareket açısı yatay bileşen ve dikey bileşen olarak ayrılabilir, ancak bunu yaparsanız, söz konusu denklemin bir yatay versiyonu ve bir dikey versiyonu olacaktır. sürüm.
Hava direncinin etkilerinin ihmal edilmesi, yatay yönün hiçbir zaman herhangi bir etkisi olmadığı için mermi hareket problemlerini büyük ölçüde basitleştirir. bir mermi hareketinde ivme (serbest düşüş) probleminde, yerçekiminin etkisi sadece dikey olarak etki eder (yani, cismin yüzeyine doğru Dünya).
Bu, yatay hız bileşeninin yalnızca sabit bir hız olduğu ve hareketin yalnızca yerçekimi mermiyi yer seviyesine indirdiğinde durduğu anlamına gelir. Bu, tamamen uçuş saatine bağlı olduğu için uçuş zamanını belirlemek için kullanılabilir.y-yön hareketi ve tamamen dikey yer değiştirmeye dayalı olarak hesaplanabilir (yani, zamantdikey yer değiştirme sıfır olduğunda size uçuşun zamanını söyler).
Mermi Hareketi Problemlerinde Trigonometri
Söz konusu problem size bir fırlatma açısı ve bir başlangıç hızı veriyorsa, yatay ve dikey hız bileşenlerini bulmak için trigonometri kullanmanız gerekecektir. Bunu yaptıktan sonra, sorunu gerçekten çözmek için önceki bölümde özetlenen yöntemleri kullanabilirsiniz.
Esasen, hipotenüsün fırlatma açısına eğimli olduğu dik açılı bir üçgen yaratırsınız (θ) ve uzunluk olarak hızın büyüklüğü ve daha sonra bitişik taraf hızın yatay bileşenidir ve karşı taraf dikey hızdır.
Dik açılı üçgeni belirtildiği gibi çizin ve trigonometrik özdeşlikleri kullanarak yatay ve dikey bileşenleri bulduğunuzu göreceksiniz:
\text{cos}\; θ = \frac{\text{bitişik}}{\text{hipotenüs}}
\text{günah}\; θ = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}
Böylece bunlar yeniden düzenlenebilir (ve zıt =vy ve bitişik =vx, yani sırasıyla dikey hız bileşeni ve yatay hız bileşenleri ve hipotenüs =v0, ilk hız) vermek için:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 günah (θ)
Mermi hareketi sorunlarını çözmek için yapmanız gereken tüm trigonometri budur: fırlatma açısını denklemi, hesap makinenizdeki sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak ve sonucun başlangıç hızıyla çarparak mermi.
20 m/s'lik bir başlangıç hızı ve 60 derecelik bir fırlatma açısı ile bunu yapmanın bir örneğini gözden geçirmek için, bileşenler şunlardır:
\begin{hizalanmış} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17.32 \;\text{m/s} \end{hizalı}
Örnek Mermi Hareketi Problemi: Patlayan Bir Havai Fişek
Bir havai fişek, yörüngesinin en yüksek noktasında patlayacak şekilde tasarlanmış bir sigortaya sahip olduğunu ve yataya 70 derecelik bir açıyla 60 m/s'lik bir başlangıç hızıyla fırlatıldığını hayal edin.
hangi boyda nasıl çalışırsınhde patlıyor? Ve lansmandan itibaren patladığında ne zaman olurdu?
Bu, bir merminin maksimum yüksekliğini içeren birçok problemden biridir ve bunları çözmenin püf noktası, maksimum yükseklikte,y- hızın bileşeni bir an için 0 m/s'dir. için bu değeri takarakvy ve kinematik denklemlerden en uygununu seçerek bu ve benzeri problemlerin üstesinden kolaylıkla gelebilirsiniz.
İlk olarak, kinematik denklemlere bakıldığında, bu (dikey yönde çalıştığımızı göstermek için eklenen alt simgelerle) dışarı atlıyor:
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
Bu denklem idealdir çünkü ivmeyi zaten biliyorsunuzdur (biry = -g), başlangıç hızı ve fırlatma açısı (böylece dikey bileşeni hesaplayabilirsiniz)vy0). değerini aradığımız içinsy (yani yükseklikh) ne zamanvy = 0, son dikey hız bileşeni için sıfırı değiştirebilir ve yeniden düzenleyebiliriz.sy:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Yukarı yönü çağırmak mantıklı olduğu içinyve yerçekimi ivmesinden dolayıgaşağıya doğru yönlendirilir (yani, -yyön), değiştirebilirizbiry için -g. Son olarak, aramasy yükseklikh, yazabiliriz:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Bu nedenle, sorunu çözmek için çalışmanız gereken tek şey, önceki bölümdeki trigonometrik yaklaşımı kullanarak yapabileceğiniz ilk hızın dikey bileşenidir. Yani sorudan elde edilen bilgilerle (60 m/s ve yatay fırlatmaya 70 derece), bu şunu verir:
\begin{hizalanmış} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56.38 \;\text{m/s} \end{hizalı}
Artık maksimum yükseklik için çözebilirsiniz:
\begin{hizalanmış} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9.8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162.19 \text{m} \end{hizalı}
Böylece havai fişek yerden yaklaşık 162 metre yükseklikte patlayacak.
Örneğe devam: Uçuş Süresi ve Katedilen Mesafe
Tamamen düşey harekete dayalı mermi hareketi probleminin temelleri çözüldükten sonra, problemin geri kalanı kolaylıkla çözülebilir. Her şeyden önce, diğer sabit ivme denklemlerinden biri kullanılarak sigortanın fırlatılmasından itibaren patladığı zaman bulunabilir. Seçeneklere bakıldığında, aşağıdaki ifade:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
zamanı vart, bilmek istediğiniz şey; uçuşun maksimum noktası için bildiğiniz yer değiştirme; ilk dikey hız; ve maksimum yükseklik (sıfır olduğunu bildiğimiz) anındaki hız. Buna dayanarak, denklem uçuş zamanı için bir ifade verecek şekilde yeniden düzenlenebilir:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Yani değerleri eklemek ve çözmek içintverir:
\begin{hizalanmış} t &= \frac{2 × 162.19 \;\text{m}} {56.38 \; \text{m/s}} \\ &= 5,75 \;\text{s} \end{hizalı}
Böylece havai fişek fırlatıldıktan 5,75 saniye sonra patlayacak.
Son olarak, (yatay yönde) aşağıdakileri belirten ilk denklemi temel alarak kat edilen yatay mesafeyi kolayca belirleyebilirsiniz:
v_x = v_{0x} + a_xt
Ancak, hızlanma olmadığına dikkat çekerek,x-direction, bu basitçe:
v_x = v_{0x}
Yani, içindeki hızxhavai fişek yolculuğu boyunca yön aynıdır. Verilenv = d/t, nerededkat edilen mesafedir, bunu görmek kolayd = vt, ve bu durumda (ilesx = d):
s_x = v_{0x}t
Böylece değiştirebilirsinizv0x önceki trigonometrik ifadeyle değerleri girin ve şunu çözün:
\begin{hizalanmış} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5,75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{hizalanmış}
Yani patlamadan önce yaklaşık 118 m yol alacaktır.
Ek Mermi Hareketi Problemi: Dud Havai Fişek
Üzerinde çalışılacak ek bir problem için, önceki örnekteki havai fişekleri hayal edin (başlangıç hızı 60 m/s'dir. 70 derece yatay) parabolünün zirvesinde patlamadı ve bunun yerine yere indi patlamamış. Bu durumda toplam uçuş süresini hesaplayabilir misiniz? Fırlatma alanından yatay yönde ne kadar uzağa inecek, ya da başka bir deyişle, ne kadar uzağa inecek?Aralıkmerminin?
Bu problem, hız ve yer değiştirmenin düşey bileşenlerinin olduğu yerde temelde aynı şekilde çalışır. Uçuş zamanını belirlemek için göz önünde bulundurmanız gereken ana şeyler ve bundan yola çıkarak belirleyebilirsiniz. Aralık. Çözümü ayrıntılı olarak incelemek yerine, önceki örneğe dayanarak bunu kendiniz çözebilirsiniz.
Bir merminin menzili için, arayabileceğiniz veya sabit ivme denklemlerinden türetebileceğiniz formüller var, ama bu değil. gerçekten gerekli çünkü merminin maksimum yüksekliğini zaten biliyorsunuz ve bu noktadan itibaren sadece serbest düşüşte Yerçekimi.
Bu, havai fişeklerin yere geri düşmesi için geçen süreyi belirleyebileceğiniz ve ardından toplam uçuş süresini belirlemek için bunu uçuş süresine maksimum yüksekliğe ekleyebileceğiniz anlamına gelir. O andan itibaren, menzili belirlemek için uçuş süresiyle birlikte yatay yönde sabit hızı kullanma işlemi aynı.
Uçuş süresinin 11,5 saniye ve menzilin 236 m olduğunu gösterin, yapmanız gerekeceğini unutmayın. hızın yere çarptığı noktadaki dikey bileşenini ara olarak hesaplayın adım.