birvektörhem büyüklüğü hem de yönü olan bir niceliktir. Bu farklı birskaleryalnızca bir büyüklüğe karşılık gelen nicelik. Hız, bir vektör miktarına örnektir. Hem büyüklüğü (bir şeyin ne kadar hızlı gittiği) hem de yönü (hareket ettiği yön) vardır.
Vektörler genellikle ok şeklinde çizilir. Okun uzunluğu vektörün büyüklüğüne karşılık gelir ve okun noktası yönü gösterir.
Vektör toplama ve çıkarma ile çalışmanın iki yolu vardır. Birincisi, vektörlerin kendilerinin ok diyagramlarını manipüle ederek grafiksel olarak. İkincisi matematiksel olarak kesin sonuçlar verir.
Tek Boyutta Grafik Vektör Toplama ve Çıkarma
İki vektör eklerken, vektör yönünü korurken ikinci vektörün kuyruğunu ilk vektörün ucuna yerleştirirsiniz.sonuç vektörübirinci vektörün kuyruğunda başlayan ve düz bir çizgide ikinci vektörün ucuna işaret eden bir vektördür.
Örneğin, vektörleri eklemeyi düşününbirveBhangi bir çizgi boyunca aynı yönü gösterir. Onları "uçtan kuyruğa" yerleştiririz ve elde edilen vektör,C, aynı yönü gösterir ve uzunluklarının toplamı olan bir uzunluğa sahiptir.birveB.
Bir boyutta vektörleri çıkarmak, ikinci vektörü "çevirmeniz" dışında, temelde toplamayla aynıdır. Bu, çıkarmanın bir eksi eklemekle aynı şey olmasından doğrudan kaynaklanır.
Tek Boyutta Matematiksel Vektör Toplama ve Çıkarma
Bir boyutta çalışırken, bir vektörün yönü işaretle gösterilebilir. Pozitif yön olarak bir yön seçeriz (tipik olarak "yukarı" veya "sağ" pozitif olarak seçilir) ve o yöne işaret eden herhangi bir vektörü pozitif bir miktar olarak atarız. Negatif yönü gösteren herhangi bir vektör negatif bir niceliktir. Vektörleri eklerken veya çıkarırken, büyüklüklerini uygun işaretlerle ekleyin veya çıkarın.
Diyelim ki önceki bölümde, vektörbirbüyüklüğü 3 ve vektörü vardıB5 büyüklüğündeydi. Daha sonra elde edilen vektörC = A + B =8, pozitif yönü gösteren 8 büyüklüğünde bir vektör ve sonuç vektörüD = A - B =-2, negatif yönü gösteren 2 büyüklüğünde bir vektör. Bunun, önceki grafik sonuçlarıyla tutarlı olduğunu unutmayın.
İpucu: Yalnızca aynı türdeki vektörleri eklemeye dikkat edin: hız + hız, kuvvet + kuvvet vb. Fizikteki tüm matematikte olduğu gibi, birimler eşleşmelidir!
İki Boyutta Grafik Vektör Toplama ve Çıkarma
Kartezyen uzayda ilk vektör ve ikinci vektör aynı çizgide değilse, bunları eklemek veya çıkarmak için aynı "uçtan kuyruğa" yöntemini kullanabilirsiniz. İki vektör eklemek için, ikincisini kaldırdığınızı ve gösterildiği gibi yönünü korurken kuyruğunu birincinin ucuna yerleştirdiğinizi hayal edin. Ortaya çıkan vektör, birinci vektörün kuyruğunda başlayan ve ikinci vektörün ucunda biten bir oktur:
Tıpkı bir boyutta olduğu gibi, bir vektörü diğerinden çıkarmak, çevirmeye ve toplamaya eşdeğerdir. Grafiksel olarak, bu aşağıdaki gibi görünür:
•••Dana Chen | bilim
Not: Bazen vektör ekleme, iki toplama vektörünün kuyruklarını bir araya getirerek ve bir paralelkenar oluşturarak grafiksel olarak gösterilir. Ortaya çıkan vektör, bu paralelkenarın köşegenidir.
İki Boyutta Matematiksel Vektör Toplama ve Çıkarma
İki boyutlu vektörleri matematiksel olarak eklemek ve çıkarmak için şu adımları izleyin:
Her vektörü birx- bazen yatay bileşen olarak adlandırılan bileşen vey- bazen dikey bileşen olarak adlandırılan, trigonometri kullanan bileşen. (Vektörün gösterdiği yöne bağlı olarak bileşenlerin negatif veya pozitif olabileceğini unutmayın)
Eklex- her iki vektörün bileşenlerini bir araya getirin ve ardındany- her iki vektörün bileşenleri birlikte. Bu sonuç sizexveyelde edilen vektörün bileşenleri.
Elde edilen vektörün büyüklüğü Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir.
Elde edilen vektörün yönü, ters tanjant fonksiyonu kullanılarak trigonometri yoluyla bulunabilir. Bu yön tipik olarak pozitife göre bir açı olarak verilir.x-eksen.
Vektör Toplamasında Trigonometri
Trigonometriden bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri hatırlayın.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ teta)=\frac{b}{a}
Pisagor teoremi:
c^2=a^2+b^2
Mermi hareketi, bu ilişkileri hem bir vektörü ayrıştırmak hem de bir vektörün son büyüklüğünü ve yönünü belirlemek için nasıl kullanabileceğimize dair klasik örnekler sunar.
Yakalama oynayan iki kişiyi düşünün. Topun yatayla 50 derecelik bir açıyla 16 m/s hızla 1,3 m yükseklikten fırlatıldığı söylendiğini varsayalım. Bu problemi analiz etmeye başlamak için, bu ilk hız vektörünü aşağıdaki parçalara ayırmanız gerekecektir.xveygösterildiği gibi bileşenler:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12,3\metin{ m/s}
Yakalayıcı topu ıskalarsa ve yere çarparsa, top hangi son hızla vuracaktır?
Kinematik denklemleri kullanarak topun hızının son bileşenlerini belirleyebiliriz:
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13,3\text{ m/s}
Pisagor teoremi, büyüklüğü bulmamızı sağlar:
v_{f}=\sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8\text{ m/s}
Ve trigonometri açıyı belirlememizi sağlar:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\derece
Vektör Toplama ve Çıkarma Örneği
Köşeyi dönen bir araba düşünün. varsayalımvbenarabanın içinde olduğu içinx-büyüklüğü 10 m/s olan yön vevfpozitif ile 45 derecelik bir açıdax-büyüklüğü 10 m/s olan eksen. Hareketteki bu değişiklik 3 saniyede meydana gelirse, arabanın dönerken ivmesinin büyüklüğü ve yönü nedir?
Bu ivmeyi hatırlabirşu şekilde tanımlanan bir vektör miktarıdır:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Neredevfvevbensırasıyla son ve başlangıç hızlarıdır (ve dolayısıyla vektör miktarlarıdır).
Vektör farkını hesaplamak içinvf - vben,önce ilk ve son hız vektörlerini ayrıştırmalıyız:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Sonra finali çıkarırızxveybaşlangıçtaki bileşenlerxveybileşenlerini almak için bileşenlervf - vben:
Sonra çıkarırızxveybileşenler:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\metin{ m/s}
Ardından, ivme vektörünün bileşenlerini elde etmek için her birini zamana bölün:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
İvme vektörünün büyüklüğünü bulmak için Pisagor teoremini kullanın:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
Son olarak, ivme vektörünün yönünü bulmak için trigonometriyi kullanın:
\theta=\tan^{-1}\Büyük(\frac{2,36}{-0.977}\Büyük)=113\derece