Öklid uzaklığı, Öklid uzayında iki nokta arasındaki uzaklıktır. Öklid uzayı aslen Yunan matematikçi Öklid tarafından MÖ 300 civarında tasarlandı. açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri incelemek. Bu geometri sistemi bugün hala kullanılmaktadır ve lise öğrencilerinin en sık çalıştığı sistemdir. Öklid geometrisi özellikle iki ve üç boyutlu uzaylar için geçerlidir. Ancak, daha yüksek mertebeden boyutlara kolayca genellenebilir.
Bir boyut için Öklid mesafesini hesaplayın. Bir boyuttaki iki nokta arasındaki uzaklık, basitçe, koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir. Matematiksel olarak bu |p1 - q1| olarak gösterilir. burada p1 birinci noktanın ilk koordinatı ve q1 ikinci noktanın ilk koordinatıdır. Mesafenin normalde yalnızca negatif olmayan bir değere sahip olduğu kabul edildiğinden, bu farkın mutlak değerini kullanırız.
İki boyutlu Öklid uzayında iki nokta P ve Q alın. P'yi (p1,p2) koordinatlarıyla ve Q'yu (q1,q2) koordinatlarıyla tanımlayacağız. Şimdi P ve Q uç noktalarına sahip bir doğru parçası oluşturun. Bu doğru parçası bir dik üçgenin hipotenüsünü oluşturacaktır. Adım 1'de elde edilen sonuçları genişleterek, bu üçgenin bacak uzunluklarının |p1 - q1| ile verildiğini not ediyoruz. ve |p2 - q2|. İki nokta arasındaki mesafe daha sonra hipotenüsün uzunluğu olarak verilecektir.
Adım 2'deki hipotenüsün uzunluğunu belirlemek için Pisagor teoremini kullanın. Bu teorem, c^2 = a^2 + b^2 olduğunu belirtir; burada c, bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğudur ve a, b, diğer iki bacağın uzunluklarıdır. Bu bize c = (a^2 + b^2)^(1/2) = ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2) verir. İki boyutlu uzayda 2 nokta P = (p1,p2) ve Q = (q1,q2) arasındaki uzaklık bu nedenle ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2)'dir.
Adım 3'ün sonuçlarını üç boyutlu uzaya genişletin. P = (p1, p2, p3) ve Q = (q1,q2,q3) noktaları arasındaki uzaklık daha sonra ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 + (p3-q3) olarak verilebilir. ^2)^(1/2).
Adım 4'teki çözümü P = (p1, p2,..., pn) ve Q = (q1,q2,..., qn) iki noktası arasındaki uzaklık için n boyutta genelleştirin. Bu genel çözüm ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 +... şeklinde verilebilir. + (pn-qn)^2)^(1/2).