ประเภทของการใช้เหตุผลในเรขาคณิต

เรขาคณิตคือภาษาที่กล่าวถึงรูปทรงและมุมที่ผสมผสานกันในรูปแบบพีชคณิต เรขาคณิตแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติในสมการทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตถูกใช้อย่างกว้างขวางในด้านวิศวกรรม ฟิสิกส์ และสาขาวิทยาศาสตร์อื่นๆ นักเรียนจะได้รับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับการศึกษาทางวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนโดยการเรียนรู้วิธีค้นพบ ให้เหตุผล และพิสูจน์แนวคิดทางเรขาคณิต

การให้เหตุผลเชิงอุปนัยเป็นรูปแบบหนึ่งของการให้เหตุผลซึ่งได้ข้อสรุปตามรูปแบบและการสังเกต หากใช้โดยตัวมันเอง การให้เหตุผลเชิงอุปนัยไม่ใช่วิธีการที่ถูกต้องสำหรับการได้ข้อสรุปที่แท้จริงและแม่นยำ ยกตัวอย่างเพื่อนสามคน: จิม แมรี่ และแฟรงค์ แฟรงค์สังเกตจิมและแมรี่ทะเลาะกัน แฟรงค์สังเกตจิมและแมรี่ทะเลาะกันสามหรือสี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ และทุกครั้งที่เขาเห็นพวกเขา พวกเขาก็ทะเลาะกัน คำกล่าวที่ว่า “จิมและแมรี่ทะเลาะกันตลอดเวลา” เป็นข้อสรุปเชิงอุปนัย ซึ่งเข้าถึงได้จากการสังเกตอย่างจำกัดว่าจิมและแมรี่โต้ตอบกันอย่างไร การใช้เหตุผลเชิงอุปนัยสามารถนำนักเรียนไปในทิศทางของการสร้างสมมติฐานที่ถูกต้อง เช่น "จิมและแมรี่ทะเลาะกันบ่อยๆ" แต่การใช้เหตุผลเชิงอุปนัยไม่สามารถใช้เป็นพื้นฐานเพียงอย่างเดียวในการพิสูจน์ความคิดได้ การใช้เหตุผลเชิงอุปนัยต้องใช้การสังเกต การวิเคราะห์ การอนุมาน (การมองหารูปแบบ) และการยืนยันการสังเกตผ่านการทดสอบเพิ่มเติมเพื่อให้ได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง

การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นวิธีการเชิงตรรกะทีละขั้นตอนในการพิสูจน์แนวคิดโดยการสังเกตและทดสอบ การให้เหตุผลแบบนิรนัยเริ่มต้นด้วยข้อเท็จจริงเบื้องต้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว และสร้างการโต้แย้งทีละคำเพื่อพิสูจน์แนวคิดใหม่อย่างปฏิเสธไม่ได้ ข้อสรุปที่ได้มาจากการให้เหตุผลแบบนิรนัยสร้างขึ้นบนพื้นฐานของข้อสรุปเล็กๆ น้อยๆ ที่แต่ละความคืบหน้าไปสู่ข้อความสุดท้าย

สัจพจน์และสัจพจน์ถูกนำมาใช้ในกระบวนการพัฒนาอาร์กิวเมนต์ที่ใช้เหตุผลแบบอุปนัยและแบบนิรนัย สัจพจน์คือคำแถลงเกี่ยวกับจำนวนจริงที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ที่ว่าเลขสามมีค่ามากกว่าเลขสองคือสัจพจน์ที่ชัดเจนในตัวเอง สัจพจน์มีความคล้ายคลึงกัน และกำหนดเป็นคำสั่งเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่น วงกลมคือรูปทรงเรขาคณิตที่สามารถแบ่งออกเป็น 360 องศาเท่าๆ กัน คำกล่าวนี้ใช้กับทุกแวดวง ในทุกสถานการณ์ ดังนั้น ข้อความนี้จึงเป็นสมมุติฐานทางเรขาคณิต

ทฤษฎีบทเป็นผลหรือข้อสรุปของอาร์กิวเมนต์นิรนัยที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง และอาจเป็นผลมาจากอาร์กิวเมนต์อุปนัยที่ได้รับการวิจัยมาอย่างดี กล่าวโดยย่อ ทฤษฎีบทคือข้อความในเรขาคณิตที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ดังนั้นจึงสามารถเชื่อถือได้ว่าเป็นข้อความจริงเมื่อสร้างการพิสูจน์เชิงตรรกะสำหรับปัญหาเรขาคณิตอื่นๆ ข้อความที่ว่า "จุดสองจุดกำหนดเส้น" และ "จุดสามจุดกำหนดระนาบ" เป็นทฤษฎีทางเรขาคณิตแต่ละข้อ