อะไรทำให้ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน?

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับธุรกิจ วิศวกรรม และวิทยาศาสตร์ เนื่องจากสามารถทำหน้าที่เป็นแบบจำลองขนาดเล็กของปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงได้ เพื่อให้เข้าใจหน้าที่และความสัมพันธ์ คุณจำเป็นต้องเจาะลึกแนวคิดเล็กน้อย เช่น เซต คู่ลำดับ และความสัมพันธ์ ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษที่มีเพียงตัวเดียวyค่าสำหรับที่กำหนดxค่า มีความสัมพันธ์ประเภทอื่นๆ ที่ดูเหมือนฟังก์ชันแต่ไม่ตรงตามคำจำกัดความที่เข้มงวดของความสัมพันธ์

ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)

ความสัมพันธ์คือชุดของตัวเลขที่จัดเป็นคู่ ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษที่มีเพียงตัวเดียวyค่าสำหรับที่กำหนดxค่า

ในการอธิบายความสัมพันธ์และหน้าที่ จะช่วยให้อภิปรายเซตและคู่ลำดับก่อน โดยสังเขป ชุดของตัวเลขคือชุดของตัวเลข ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะอยู่ภายในวงเล็บปีกกา เช่น {15,1, 2/3} หรือ {0,.22} โดยปกติ คุณกำหนดชุดด้วยกฎ เช่น ตัวเลขคู่ทั้งหมดระหว่าง 2 ถึง 10 ซึ่งรวมถึง: {2,4,6,8,10}

ชุดสามารถมีองค์ประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้ หรือไม่มีเลย นั่นคือ ชุดว่าง {} คู่ลำดับคือกลุ่มของตัวเลขสองตัวที่อยู่ในวงเล็บ เช่น (0,1) และ (45, −2) เพื่อความสะดวก คุณสามารถเรียกค่าแรกในคู่ที่สั่งซื้อ

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่กำหนดให้xค่ามีเพียงหนึ่งที่สอดคล้องกันyค่า คุณอาจคิดว่าด้วยคู่สั่งแต่ละคู่xมีเพียงหนึ่งเดียวyมูลค่าต่อไป อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่ให้ไว้ข้างต้น โปรดทราบว่า notexค่า 1 และ 2 แต่ละค่ามี 2 ค่าที่สอดคล้องกันyค่า 0 และ 5 และ 10 และ 15 ตามลำดับ ความสัมพันธ์นี้ไม่ใช่ฟังก์ชัน กฎทำให้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมีความชัดเจนที่ไม่มีอยู่จริงในแง่ของxค่า คุณสามารถถามว่าเมื่อxคือ 1 อะไรคือyค่า? สำหรับความสัมพันธ์ข้างต้น คำถามไม่มีคำตอบที่แน่ชัด อาจเป็น 0, 5 หรือทั้งสองอย่าง

ตอนนี้ให้ตรวจสอบตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันจริง: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}xค่าจะไม่ซ้ำที่ใดก็ได้ อีกตัวอย่างหนึ่ง ดูที่ {( −1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)} บางyมีค่าซ้ำแต่ไม่ละเมิดกฎ คุณยังสามารถพูดได้ว่าเมื่อค่าของxคือ 0yเป็น 5 แน่นอน

คุณสามารถบอกได้ว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่โดยการพล็อตตัวเลขบนกราฟและใช้การทดสอบเส้นแนวตั้ง หากไม่มีเส้นแนวตั้งที่ตัดผ่านกราฟมากกว่าหนึ่งจุด ความสัมพันธ์จะเป็นฟังก์ชัน

การเขียนชุดของคู่ที่เรียงลำดับเป็นฟังก์ชันทำให้เป็นตัวอย่างง่ายๆ แต่จะกลายเป็นเรื่องน่าเบื่ออย่างรวดเร็วเมื่อคุณมีตัวเลขมากกว่าสองสามตัว เพื่อแก้ปัญหานี้ นักคณิตศาสตร์เขียนฟังก์ชันในรูปของสมการ เช่น

ด้วยการใช้สมการกระชับนี้ คุณสามารถสร้างคู่ที่เรียงลำดับได้มากเท่าที่คุณต้องการ: เสียบค่าต่างๆ สำหรับx, คิดเลขแล้วออกมาyค่า

ฟังก์ชันหลายอย่างทำหน้าที่เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ ทำให้ผู้คนสามารถเข้าใจรายละเอียดของปรากฏการณ์ที่อาจยังคงเป็นปริศนา ยกตัวอย่างง่ายๆ สมการระยะทางสำหรับวัตถุที่ตกลงมาคือ

ที่ไหนtเป็นเวลาเป็นวินาที และกคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง เสียบ 9.8 สำหรับแรงโน้มถ่วงของโลกในหน่วยเมตรต่อวินาทียกกำลังสอง แล้วคุณจะพบระยะทางที่วัตถุตกลงมาเมื่อใดก็ได้ โปรดทราบว่าโมเดลมีข้อ จำกัด เพื่อประโยชน์ทั้งหมด สมการตัวอย่างใช้ได้ดีในการโยนลูกเหล็ก แต่ไม่ใช่ขนนกเพราะอากาศทำให้ขนช้าลง