เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดบนเส้นจำนวน ชุดย่อยสามารถรวมชุดของตัวเลขใดๆ ก็ได้ แต่องค์ประกอบของชุดย่อยที่สำคัญควรมีลักษณะหลายอย่างที่เหมือนกันเป็นอย่างน้อย ชุดย่อยเหล่านี้ส่วนใหญ่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณเฉพาะ แต่มีบางส่วนที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจและช่วยในการทำความเข้าใจว่าระบบจำนวนจริงทำงานอย่างไร
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
เซตย่อยที่สำคัญที่สุดของเซตของจำนวนจริง ได้แก่ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะสามารถแบ่งออกเป็นเซตย่อยเพิ่มเติม ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนเต็ม ส่วนย่อยอื่นๆ ของจำนวนจริง ได้แก่ เลขคู่และคี่ จำนวนเฉพาะ และจำนวนสมบูรณ์ มีจำนวนเซตย่อยของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นอนันต์
ชุดย่อยจำนวนจริงโดยทั่วไป
สำหรับเซตใด ๆ ที่มีปริมาณขององค์ประกอบ n จำนวนของเซตย่อยคือ 2น. เซตของจำนวนจริงมีจำนวนองค์ประกอบเป็นอนันต์ ดังนั้นเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกันของ 2 จึงเป็นอนันต์เช่นกัน ทำให้ได้เซตย่อยจำนวนอนันต์
เซตย่อยเหล่านี้จำนวนมากสามารถใช้ได้เมื่อทำงานกับระบบจำนวนจริงและระหว่างการคำนวณ แต่จะมีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์เฉพาะเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับการคำนวณราคาพิซซ่าหลายถาดสำหรับเพื่อน อาจสนใจเฉพาะชุดย่อยของตัวเลขตั้งแต่สิบถึงหนึ่งร้อยเท่านั้น เทอร์โมมิเตอร์กลางแจ้งอาจแสดงเฉพาะส่วนย่อยของอุณหภูมิตั้งแต่ลบ 40 ถึงบวก 120 องศาฟาเรนไฮต์ การทำงานกับชุดย่อยเช่นนี้มีประโยชน์ เนื่องจากผลลัพธ์ใดๆ นอกชุดย่อยที่คาดไว้อาจไม่ถูกต้อง
ชุดย่อยของจำนวนจริงทั่วไปมากขึ้นจะจัดประเภทตัวเลขตามลักษณะเฉพาะ และชุดย่อยเหล่านี้จะมีคุณสมบัติเฉพาะตัวด้วยเหตุนี้ ระบบจำนวนจริงวิวัฒนาการมาจากเซตย่อย เช่น ตัวเลขธรรมชาติ ซึ่งใช้สำหรับการนับ และเซตย่อยดังกล่าวเป็นพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจพีชคณิต
เซตย่อยที่ประกอบเป็นตัวเลขจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเต็มและตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จำนวนจริงอื่นๆ ทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ และรวมตัวเลขอย่างเช่น รากที่สองของ 2 และจำนวน pi เนื่องจากจำนวนอตรรกยะถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง จำนวนอตรรกยะทั้งหมดต้องเป็นจำนวนจริง
จำนวนตรรกยะสามารถแบ่งออกเป็นส่วนย่อยเพิ่มเติมได้ ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เคยใช้ในการนับ และพวกมันคือลำดับ 1, 2, 3 เป็นต้น จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติบวกศูนย์ จำนวนเต็มคือจำนวนเต็มบวกจำนวนธรรมชาติติดลบ
ชุดย่อยอื่นๆ ของจำนวนตรรกยะรวมถึงแนวคิดเช่น จำนวนคู่ คี่ เฉพาะ และจำนวนสมบูรณ์ จำนวนคู่เป็นจำนวนเต็มที่มี 2 เป็นตัวประกอบ เลขคี่คือจำนวนเต็มอื่นๆ ทั้งหมด จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มีเพียงตัวมันเองและ 1 เป็นตัวประกอบ จำนวนสมบูรณ์คือจำนวนเต็มที่มีตัวประกอบรวมกันเป็นตัวเลข จำนวนสมบูรณ์ที่น้อยที่สุดคือ 6 และตัวประกอบ 1, 2 และ 3 รวมกันเป็น 6
โดยทั่วไป การคำนวณด้วยจำนวนจริงจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง แต่มีข้อยกเว้น ไม่มีจำนวนจริงใดที่เมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้ว จะให้จำนวนจริงติดลบเป็นคำตอบ ผลก็คือ รากที่สองของจำนวนจริงติดลบไม่สามารถเป็นจำนวนจริงได้ รากที่สองของจำนวนจริงติดลบเรียกว่าจำนวนจินตภาพ และเป็นองค์ประกอบของชุดตัวเลขที่แยกจากจำนวนจริงโดยสิ้นเชิง
การศึกษาเซตย่อยของจำนวนจริงเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีจำนวน และจัดประเภทตัวเลขเพื่อให้เข้าใจวิธีการทำงานของทฤษฎีจำนวนได้ง่ายขึ้น การทำความคุ้นเคยกับเซตย่อยของจำนวนจริงและคุณสมบัติของพวกมันเป็นพื้นฐานที่ดีสำหรับการศึกษาทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม