ผลคูณของปริมาณสเกลาร์สองปริมาณคือสเกลาร์ และผลิตภัณฑ์ของสเกลาร์ที่มีเวกเตอร์คือเวกเตอร์ แล้วผลคูณของเวกเตอร์สองตัวล่ะ? มันเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์อื่นหรือไม่? คำตอบคือ อาจเป็นได้!
มีสองวิธีในการหาผลคูณเวกเตอร์ หนึ่งคือการหาดอทโปรดัคซึ่งได้สเกลาร์ และอีกอันคือการหาผลคูณของพวกมัน ซึ่งได้เวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง ผลิตภัณฑ์ใดที่ใช้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์เฉพาะและปริมาณที่คุณพยายามค้นหา
ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวให้เวกเตอร์ตัวที่สามซึ่งชี้ไปในทิศทางตั้งฉากกับ ระนาบที่ขยายโดยเวกเตอร์สองตัว และขนาดของมันขึ้นอยู่กับความตั้งฉากสัมพัทธ์ของทั้งสอง เวกเตอร์
คำจำกัดความของ Cross Product ของ Vectors
ก่อนอื่นให้นิยามผลคูณของเวกเตอร์หน่วยผม, เจและk(เวกเตอร์ขนาด 1 ที่จุดใน inx-, y-และz-ทิศทางส่วนประกอบของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐาน) ดังนี้
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
สังเกตว่าความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นการต่อต้านการสับเปลี่ยน นั่นคือ ถ้าเราเปลี่ยนลำดับของเวกเตอร์ที่เรากำลังหาผลคูณ มันจะพลิกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
เราสามารถใช้คำจำกัดความข้างต้นเพื่อหาสูตรสำหรับผลคูณของเวกเตอร์สามมิติสองมิติ. ขั้นแรก เขียนเวกเตอร์และขดังนี้
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
การคูณเวกเตอร์สองตัว เราจะได้:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ ตัวหนา{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ คูณ i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\times k}
จากนั้น ใช้ความสัมพันธ์แบบเวกเตอร์หน่วยด้านบน ซึ่งจะทำให้:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y) - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\ตัวหนา{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\ตัวหนา{k}
(โปรดทราบว่าคำที่มีผลคูณไขว้เป็น 0 เป็นคำที่ก่อให้เกิดผลคูณดอท (เรียกอีกอย่างว่าผลคูณสเกลาร์)!ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ)
กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
ขนาดของผลคูณสามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สูตรผสมข้ามยังสามารถแสดงเป็นตัวดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {เมทริกซ์}\Bigg| \\ = \Big|\begin{matrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrix}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {เมทริกซ์} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{เมทริกซ์}\บิ๊ก|\bold{k}
\text{ที่ตัวกำหนด } \Big|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\Big| = โฆษณา - bc
อีกประการหนึ่งที่มักสะดวกมากคือการกำหนดผลิตภัณฑ์ข้าม (ดูส่วนท้ายของบทความนี้สำหรับที่มา):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\ตัวหนา{b}| \sin (θ) \ตัวหนา{n}
ที่ไหน:
- || คือขนาด (ความยาว) ของเวกเตอร์
- |ข| คือขนาด (ความยาว) ของเวกเตอร์ข
- θ คือมุมระหว่าง และ ข
- นเป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบที่สแปนโดย และข
เวกเตอร์ตั้งฉากกับกฎมือขวา
ในคำอธิบายของผลิตภัณฑ์กากบาท ระบุว่าทิศทางของผลิตภัณฑ์กากบาทตั้งฉากกับระนาบที่ขยายด้วยเวกเตอร์และเวกเตอร์ข. แต่สิ่งนี้เหลือสองความเป็นไปได้: มันอาจชี้ออกจากเครื่องบินหรือเป็นเครื่องบินที่ถูกขยายโดยเวกเตอร์เหล่านั้น ความจริงก็คือ เราสามารถเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งได้ตราบใดที่เรามีความสม่ำเสมอ อย่างไรก็ตาม ทิศทางที่นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชื่นชอบนั้น ถูกกำหนดโดยสิ่งที่เรียกว่ากฎมือขวา.
ในการกำหนดทิศทางของผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์โดยใช้กฎมือขวา ให้ชี้นิ้วชี้ของมือขวาไปในทิศทางของเวกเตอร์และนิ้วกลางของคุณไปในทิศทางของเวกเตอร์ข. นิ้วหัวแม่มือของคุณชี้ไปในทิศทางของเวกเตอร์ข้ามผลิตภัณฑ์
บางครั้งทิศทางเหล่านี้ยากที่จะพรรณนาบนกระดาษแผ่นเรียบ บ่อยครั้งจึงมีการจัดทำแบบแผนต่อไปนี้:
ในการระบุเวกเตอร์ที่เข้าสู่หน้านั้น เราวาดวงกลมที่มีเครื่องหมาย X อยู่ในนั้น (ให้คิดว่านี่เป็นการแสดงถึงขนหางที่ปลายลูกศรเมื่อคุณมองจากด้านหลัง) เพื่อระบุเวกเตอร์ที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามจากหน้า เราวาดวงกลมที่มีจุดอยู่ (คิดว่านี่เป็นส่วนปลายของลูกศรที่ชี้ออกจากหน้า)
•••นา
คุณสมบัติของ Cross Product
ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติหลายประการของผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์:
###\ข้อความ{1. ถ้า } \bold{a} \text{ และ } \bold{b} \text{ ขนานกัน ดังนั้น } \bold{a\times b} = 0
###\ข้อความ{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}
###\ข้อความ{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
###\ข้อความ{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
###\ข้อความ{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{ที่ไหน }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrix }\Bigg|
การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ไม้กางเขน
เมื่อมีการกำหนดผลคูณของเวกเตอร์ไขว้ในรูปของบาป (θ) ขนาดของเวกเตอร์นั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวแทนของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขยายโดยเวกเตอร์สองตัว นี่เป็นเพราะว่าสำหรับก × ข, |ข|sin (θ) = ความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังที่แสดง และ || เป็นฐาน
•••ดาน่า เฉิน | วิทยาศาสตร์
ขนาดของเวกเตอร์สามผลิตภัณฑ์ก (ข × ค) สามารถตีความได้ว่าปริมาตรของเส้นขนานที่ขยายโดยเวกเตอร์, ขและค. นี้เป็นเพราะ(ข × ค) ให้เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นพื้นที่ที่ขยายด้วยเวกเตอร์ขและเวกเตอร์คและมีทิศทางตั้งฉากกับบริเวณนั้น หาผลคูณดอทของเวกเตอร์ด้วยผลลัพธ์นี้ พื้นที่ฐานคูณด้วยความสูงเป็นหลัก
ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1:แรงบนอนุภาคประจุqเคลื่อนที่ด้วยความเร็ววีในสนามแม่เหล็กบีมอบให้โดย:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
สมมติว่าอิเล็กตรอนผ่านสนามแม่เหล็ก 0.005 T ที่ความเร็ว 2×107 นางสาว. ถ้ามันพุ่งผ่านสนามในแนวตั้งฉาก แรงที่มันจะสัมผัสได้คือ:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005) )\sin (90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
อย่างไรก็ตาม หากอิเล็กตรอนเคลื่อนที่ขนานกับสนาม ดังนั้น θ = 0 และบาป (0) = 0 ทำให้แรงเป็น 0
โปรดทราบว่าสำหรับอิเล็กตรอนที่เคลื่อนตัวในแนวตั้งฉากผ่านสนาม แรงนี้จะทำให้อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นวงกลม รัศมีของเส้นทางวงกลมนี้สามารถพบได้โดยการตั้งค่าแรงแม่เหล็กให้เท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางและแก้หารัศมีr:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}
จากตัวอย่างข้างต้น การใส่ตัวเลขจะทำให้ได้รัศมีประมาณ 0.0227 ม.
ตัวอย่างที่ 2:แรงบิดของปริมาณทางกายภาพยังคำนวณโดยใช้ผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์ ถ้าแรงFถูกนำไปใช้กับวัตถุที่ตำแหน่งrจากจุดหมุน แรงบิดτเกี่ยวกับจุดหมุนกำหนดโดย:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
พิจารณาสถานการณ์ที่ใช้แรง 7 นิวตันทำมุมกับปลายแท่ง 0.75 ซึ่งปลายอีกด้านยึดกับเดือย มุมระหว่างrและFคือ 70 องศา จึงสามารถคำนวณแรงบิดได้:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0.75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4.93 \text{Nm }\bold{ n}
ทิศทางของแรงบิด,น, ถูกพบโดยกฎมือขวา หากใช้กับรูปภาพด้านบน จะเป็นการบอกทิศทางที่ออกมาจากหน้าหรือหน้าจอ โดยทั่วไปแล้ว แรงบิดที่ใช้กับวัตถุจะต้องการให้วัตถุหมุน เวกเตอร์แรงบิดจะอยู่ในทิศทางเดียวกับแกนหมุนเสมอ
อันที่จริง กฎมือขวาแบบง่ายสามารถใช้ในสถานการณ์นี้ได้: ใช้มือขวาของคุณเพื่อ "จับ" แกนหมุนใน ในลักษณะที่นิ้วของคุณงอไปในทิศทางที่แรงบิดที่เกี่ยวข้องต้องการให้วัตถุหมุน นิ้วหัวแม่มือของคุณชี้ไปในทิศทางของเวกเตอร์แรงบิด
ที่มาของสูตรผลิตภัณฑ์กากบาท
\text{ที่นี่เราจะแสดงให้เห็นว่าสูตรไขว้กันอย่างไร } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\ตัวหนา{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ สามารถรับได้}
พิจารณาเวกเตอร์สองตัวและขมีมุมθระหว่างพวกเขา. สามเหลี่ยมมุมฉากสามารถเกิดขึ้นได้โดยการลากเส้นจากปลายเวกเตอร์ไปยังจุดสัมผัสตั้งฉากกับเวกเตอร์ข.
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้
\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{ที่ไหน }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ คือการฉายภาพของเวกเตอร์ } \bold {a} \text{ ไปยัง vector } \bold{b}
ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเล็กน้อย เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ ก}|^2
ต่อไป คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย |ข|2 และย้ายเทอมแรกไปทางด้านขวามือเพื่อรับ:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
ทำงานทางด้านขวามือ คูณทุกอย่างออกแล้วลดรูป:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
การตั้งค่าผลลัพธ์เท่ากับด้านซ้ายมือของสมการก่อนหน้า เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:
|\ตัวหนา{a\ครั้งข}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
นี่แสดงให้เราเห็นว่าขนาดเท่ากันในสูตร ดังนั้นสิ่งสุดท้ายที่ต้องทำเพื่อพิสูจน์สูตรคือการแสดงว่าทิศทางนั้นเหมือนกัน สามารถทำได้ง่ายๆ โดยนำผลิตภัณฑ์ดอทของกับก × ขและขกับก × ขและแสดงว่าเป็น 0 หมายความว่าทิศทางของก × ข ตั้งฉากกับทั้งสอง