พลังงานจลน์ในการหมุนอธิบายพลังงานของการเคลื่อนที่ที่เกิดจากการหมุนของวัตถุหรือการเคลื่อนที่เป็นวงกลม จำได้ว่าพลังงานจลน์เชิงเส้นของมวลมเคลื่อนที่ด้วยความเร็ววีมอบให้โดย 1/2mv2. นี่คือการคำนวณอย่างตรงไปตรงมาสำหรับวัตถุใดๆ ที่เคลื่อนที่ในเส้นทางเส้นตรง ใช้กับจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ทำให้สามารถประมาณวัตถุเป็นมวลจุดได้
ทีนี้ ถ้าเราต้องการอธิบายพลังงานจลน์ของวัตถุขยายซึ่งมีการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนมากขึ้น การคำนวณก็จะยิ่งยากขึ้น
เราสามารถประมาณค่าแบบต่อเนื่องโดยแบ่งวัตถุที่ขยายออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งแต่ละอันสามารถประมาณได้เป็น มวลจุด แล้วคำนวณพลังงานจลน์เชิงเส้นของมวลจุดแต่ละจุดแยกกัน แล้วบวกทั้งหมดเข้าด้วยกันเพื่อหาผลรวมของมวลจุด วัตถุ. ยิ่งเราแบ่งวัตถุให้เล็กลงเท่าใด การประมาณการก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น ในขีด จำกัด ที่ชิ้นส่วนมีขนาดเล็กสามารถทำได้ด้วยแคลคูลัส
แต่เราโชคดี! เมื่อพูดถึงการเคลื่อนที่แบบหมุน สำหรับวัตถุหมุน ถ้าเราอธิบายการกระจายมวลของมันเกี่ยวกับแกนหมุนในแง่ของโมเมนต์ความเฉื่อยผมจากนั้นเราจะสามารถใช้สมการพลังงานจลน์แบบหมุนอย่างง่ายได้ ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความนี้ต่อไป
โมเมนต์ความเฉื่อย
โมเมนต์ความเฉื่อย
เป็นการวัดความยากในการทำให้วัตถุเปลี่ยนการเคลื่อนที่ของการหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่หมุนไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการกระจายมวลตามแกนของการหมุนด้วย ยิ่งห่างจากแกนที่มีการกระจายมวลมากเท่าใด การเคลื่อนที่ของการหมุนก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น และด้วยเหตุนี้โมเมนต์ความเฉื่อยก็จะยิ่งมากขึ้นหน่วย SI สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยคือ kgm2 (ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดของเราที่ว่าขึ้นอยู่กับมวลและระยะทางจากแกนหมุน) โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุต่าง ๆ สามารถพบได้ในตารางหรือจากแคลคูลัส
เคล็ดลับ
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุใดๆ สามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสและสูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลจุด
สมการพลังงานจลน์หมุน
สูตรพลังงานจลน์หมุนได้มาจาก:
KE_{rot} = \frac{1}{2}ฉัน\โอเมก้า^2
ที่ไหนผมคือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุและωคือความเร็วเชิงมุมของวัตถุเป็นเรเดียนต่อวินาที (rad/s) หน่วย SI สำหรับพลังงานจลน์ในการหมุนคือจูล (J)
รูปแบบของสูตรพลังงานจลน์ในการหมุนนั้นคล้ายคลึงกับสมการพลังงานจลน์เชิงแปล โมเมนต์ความเฉื่อยมีบทบาทต่อมวล และความเร็วเชิงมุมมาแทนที่ความเร็วเชิงเส้น โปรดทราบว่าสมการพลังงานจลน์การหมุนให้ผลลัพธ์เดียวกันสำหรับมวลจุดเช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น
ถ้าเราจินตนาการถึงมวลจุดมเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมีrด้วยความเร็ววีดังนั้นความเร็วเชิงมุมของมันคือ ω = v/r และโมเมนต์ความเฉื่อยคือ mr2. สมการพลังงานจลน์ทั้งสองให้ผลลัพธ์เหมือนกันตามที่คาดไว้:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
หากวัตถุทั้งหมุนและจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางเส้นตรง (เช่น ที่เกิดขึ้นกับยางที่กลิ้งไปมา เป็นต้น) แสดงว่าพลังงานจลน์ทั้งหมดคือผลรวมของพลังงานจลน์ในการหมุนและพลังงานจลน์เชิงการแปล:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
ตัวอย่างการใช้สูตรพลังงานจลน์หมุน
สูตรพลังงานจลน์หมุนมีการใช้งานมากมาย สามารถใช้คำนวณพลังงานจลน์อย่างง่ายของวัตถุหมุนเพื่อคำนวณพลังงานจลน์ของ วัตถุกลิ้ง (วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ทั้งแบบหมุนและแปล) และเพื่อแก้ปัญหาอื่น ๆ ไม่รู้จัก พิจารณาสามตัวอย่างต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 1:โลกหมุนรอบแกนประมาณทุกๆ 24 ชั่วโมง ถ้าเราถือว่ามันมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ พลังงานจลน์การหมุนของมันคืออะไร? (รัศมีของโลกเท่ากับ 6.37 × 106 ม. และมวลของมันคือ 5.97 × 1024 กิโลกรัม.)
ในการหาพลังงานจลน์ในการหมุน เราต้องหาโมเมนต์ความเฉื่อยก่อน โดยการประมาณโลกเป็นทรงกลมแข็ง เราจะได้:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2
ความเร็วเชิงมุมเท่ากับ 2π เรเดียน/วัน การแปลงเป็น rad/s ให้:
2\pi\frac{\text{radians}}{\cancel{\text{day}}}\frac{1\cancel{\text{ day}}}{86400\text{ seconds}} = 7.27\times10^ {-5} \ข้อความ{ rad/s}
ดังนั้นพลังงานจลน์การหมุนของโลกจึงเป็นดังนี้:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{-) 5}\ข้อความ{ rad/s})^2 = 2.56\ครั้ง 10^{29}\ข้อความ{ J}
เกร็ดน่ารู้: นี่เป็นพลังงานมากกว่า 10 เท่าของพลังงานทั้งหมดที่ดวงอาทิตย์ปล่อยออกมาในหนึ่งนาที!
ตัวอย่างที่ 2:ทรงกระบอกที่มีมวลสม่ำเสมอ 0.75 กก. และรัศมี 0.1 ม. กลิ้งบนพื้นด้วยความเร็วคงที่ 4 ม./วินาที พลังงานจลน์ของมันคืออะไร?
พลังงานจลน์ทั้งหมดถูกกำหนดโดย:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
ในกรณีนี้ I = 1/2 mr2 คือโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกทึบ และωสัมพันธ์กับความเร็วเชิงเส้นโดยผ่าน ω = v/r.
การลดความซับซ้อนของการแสดงออกสำหรับพลังงานจลน์ทั้งหมดและการแทนค่าจะช่วยให้:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{ kg}) (4\ข้อความ{ m/s}) = 2.25\ข้อความ{ J}
โปรดทราบว่าเราไม่จำเป็นต้องใช้รัศมีด้วยซ้ำ! มันหักล้างเนื่องจากความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างความเร็วการหมุนและความเร็วเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 3:นักเรียนขี่จักรยานลงเขาจากการพักผ่อน ถ้าแนวดิ่งสูง 30 เมตร นักเรียนจะวิ่งลงเนินเร็วแค่ไหน? สมมติให้น้ำหนักจักรยาน 8 กก. คนขี่หนัก 50 กก. แต่ละล้อหนัก 2.2 กก. (รวมน้ำหนักจักรยาน) และแต่ละล้อมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.7 ม. ประมาณล้อเป็นห่วงและถือว่าแรงเสียดทานเล็กน้อย
ที่นี่เราสามารถใช้การอนุรักษ์พลังงานกลเพื่อหาความเร็วสุดท้าย พลังงานศักย์ที่ด้านบนของเนินเขาจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ที่ด้านล่าง พลังงานจลน์นั้นเป็นผลรวมของพลังงานจลน์แปลของทั้งตัวคน + ระบบจักรยาน และพลังงานจลน์ในการหมุนของยาง
พลังงานทั้งหมดของระบบ:
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9.8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17,052\ ข้อความ { จ}
สูตรของพลังงานทั้งหมดในรูปของพลังงานจลน์ที่ด้านล่างของเนินเขาคือ:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{tires}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{tire} \times r_{tire}^2)(v/r_{tire})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{tire}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{tire} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
การแก้ปัญหาสำหรับวีให้:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{tire} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
ในที่สุดการใส่ตัวเลขเราจะได้คำตอบ:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2.2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23.4 \text{ m/s}