ในพีชคณิต ลำดับของตัวเลขมีค่าสำหรับการศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อมีบางสิ่งที่ใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง ลำดับเลขคณิตถูกกำหนดโดยความแตกต่างทั่วไป ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างตัวเลขหนึ่งกับตัวเลขถัดไปในลำดับ สำหรับลำดับเลขคณิต ความแตกต่างนี้เป็นค่าคงที่และสามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบได้ ด้วยเหตุนี้ ลำดับเลขคณิตจึงใหญ่ขึ้นหรือเล็กลงเรื่อยๆ ด้วยจำนวนคงที่ทุกครั้งที่มีการเพิ่มตัวเลขใหม่ในรายการที่ประกอบขึ้นเป็นลำดับ
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
ลำดับเลขคณิตคือรายการของตัวเลขซึ่งพจน์ที่ต่อเนื่องกันแตกต่างกันด้วยจำนวนคงที่ ซึ่งเป็นผลต่างทั่วไป เมื่อความแตกต่างทั่วไปเป็นค่าบวก ลำดับจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ตามจำนวนคงที่ ในขณะที่ถ้าเป็นค่าลบ ลำดับจะลดลง ลำดับทั่วไปอื่นๆ ได้แก่ ลำดับเรขาคณิต ซึ่งเงื่อนไขต่างกันไปตามปัจจัยร่วม และลำดับฟีโบนักชี ซึ่งแต่ละตัวเลขเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า
ลำดับเลขคณิตทำงานอย่างไร
ลำดับเลขคณิตถูกกำหนดโดยตัวเลขเริ่มต้น ความแตกต่างร่วม และจำนวนพจน์ในลำดับ ตัวอย่างเช่น ลำดับเลขคณิตที่ขึ้นต้นด้วย 12 ผลต่างร่วมของ 3 และ 5 พจน์คือ 12, 15, 18, 21, 24 ตัวอย่างของลำดับที่ลดลงคือลำดับที่ขึ้นต้นด้วยหมายเลข 3 ซึ่งมีความแตกต่างร่วมกันระหว่าง −2 และหกพจน์ ลำดับนี้คือ 3, 1, −1, −3, −5, −7
ลำดับเลขคณิตสามารถมีจำนวนเทอมได้ไม่จำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับแรกข้างต้นที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์คือ 12, 15, 18,... และลำดับนั้นยังคงเป็นอนันต์
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ลำดับเลขคณิตมีชุดข้อมูลที่เพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับ เมื่อมีการบวกเงื่อนไขและผลรวมหารด้วยจำนวนเทอม ผลลัพธ์จะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าเฉลี่ย สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
\text{mean}= \frac{ \text{ผลรวมของ }n \text{ เงื่อนไข}}{n}
วิธีที่รวดเร็วในการคำนวณหาค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตคือ ใช้การสังเกตที่เมื่อตัวแรกและตัวสุดท้าย มีการเพิ่มเงื่อนไขผลรวมจะเหมือนกับเมื่อมีการเพิ่มคำที่สองและถัดจากคำสุดท้ายหรือที่สามและสามเพื่อสุดท้าย เงื่อนไข ผลรวมของลำดับคือผลรวมของเทอมแรกและเทอมสุดท้ายคูณครึ่งหนึ่งของจำนวนเทอม เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย ผลรวมจะถูกหารด้วยจำนวนของเทอม ดังนั้นค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของเทอมแรกและเทอมสุดท้าย สำหรับนเงื่อนไข1 ถึงน, สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับค่าเฉลี่ย m คือ
m= \frac{a_1+a_n}{2}
ลำดับเลขคณิตอนันต์ไม่มีเทอมสุดท้าย ดังนั้นค่าเฉลี่ยของพวกมันจึงไม่ได้กำหนดไว้ คุณสามารถหาค่าเฉลี่ยสำหรับผลรวมบางส่วนได้โดยการจำกัดผลรวมเป็นจำนวนเงื่อนไขที่กำหนดไว้ ในกรณีนั้น ผลรวมบางส่วนและค่าเฉลี่ยสามารถหาได้ในลักษณะเดียวกับลำดับที่ไม่สิ้นสุด
ลำดับประเภทอื่นๆ
ลำดับของตัวเลขมักมาจากการสังเกตจากการทดลองหรือการวัดปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ ลำดับดังกล่าวอาจเป็นตัวเลขสุ่ม แต่บ่อยครั้งที่ลำดับกลายเป็นเลขคณิตหรือรายการตัวเลขอื่นๆ
ตัวอย่างเช่น ลำดับเรขาคณิตแตกต่างจากลำดับเลขคณิตเนื่องจากมีปัจจัยร่วมมากกว่าความแตกต่างร่วมกัน แทนที่จะเพิ่มหรือลบตัวเลขสำหรับแต่ละเทอมใหม่ ตัวเลขจะถูกคูณหรือหารทุกครั้งที่มีการเพิ่มคำศัพท์ใหม่ ลำดับที่ 10, 12, 14,... เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมกันเป็น 2 กลายเป็น 10, 20, 40,... เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีตัวประกอบร่วมเท่ากับ 2
ลำดับอื่นๆ เป็นไปตามกฎที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขลำดับฟีโบนักชีเกิดขึ้นจากการบวกตัวเลขสองตัวก่อนหน้า ลำดับของมันคือ 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ต้องเพิ่มเงื่อนไขทีละรายการเพื่อรับผลรวมบางส่วน เนื่องจากวิธีการที่รวดเร็วในการเพิ่มเงื่อนไขแรกและคำศัพท์สุดท้ายใช้ไม่ได้สำหรับลำดับนี้
ลำดับเลขคณิตนั้นเรียบง่าย แต่มีการใช้งานในชีวิตจริง หากทราบจุดเริ่มต้นและพบความแตกต่างทั่วไป ก็สามารถคำนวณค่าของอนุกรมที่จุดใดจุดหนึ่งในอนาคตได้ และสามารถกำหนดค่าเฉลี่ยได้เช่นกัน
