ในวิชาคณิตศาสตร์ ลำดับคือสตริงของตัวเลขใดๆ ที่เรียงตามลำดับเพิ่มขึ้นหรือลดลง ลำดับจะกลายเป็นลำดับเรขาคณิตเมื่อคุณสามารถรับแต่ละตัวเลขได้โดยการคูณตัวเลขก่อนหน้าด้วยปัจจัยร่วม ตัวอย่างเช่น ชุดที่ 1, 2, 4, 8, 16.. เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีตัวประกอบร่วม 2 หากคุณคูณจำนวนใด ๆ ในอนุกรมด้วย 2 คุณจะได้ตัวเลขถัดไป ในทางตรงกันข้าม ลำดับที่ 2, 3, 5, 8, 14, 22.. ไม่ใช่เรขาคณิตเพราะไม่มีตัวประกอบร่วมกันระหว่างตัวเลข ลำดับทางเรขาคณิตสามารถมีตัวประกอบร่วมที่เป็นเศษส่วนได้ ซึ่งในกรณีนี้จำนวนที่ต่อเนื่องกันแต่ละจำนวนจะน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ก่อนหน้านั้น 1, 1/2, 1/4, 1/8... เป็นตัวอย่าง ปัจจัยร่วมคือ 1/2
ความจริงที่ว่าลำดับเรขาคณิตมีปัจจัยร่วมช่วยให้คุณทำสองสิ่งได้ อย่างแรกคือการคำนวณองค์ประกอบสุ่มใดๆ ในลำดับ (ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชอบเรียกว่า "นth") และข้อที่สองคือการหาผลรวมของลำดับเรขาคณิตจนถึงนองค์ประกอบที่ เมื่อคุณรวมลำดับโดยใส่เครื่องหมายบวกระหว่างคำศัพท์แต่ละคู่ คุณจะเปลี่ยนลำดับให้เป็นอนุกรมเรขาคณิต
การหาองค์ประกอบที่ n ในซีรีย์เรขาคณิต
โดยทั่วไป คุณสามารถแสดงอนุกรมเรขาคณิตใดๆ ด้วยวิธีต่อไปนี้:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +. .
ที่ไหน "" เป็นเทอมแรกในซีรีส์และ "r" เป็นปัจจัยร่วม เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ พิจารณาชุดที่= 1 และr= 2. คุณได้ 1 + 2 + 4 + 8 + 16.. มันได้ผล!
เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะได้รับสูตรสำหรับเทอมที่ n ในลำดับ (xน).
x_n = ar^{(n-1)}
เลขชี้กำลังคือน− 1 มากกว่านเพื่อให้เทอมแรกในลำดับเขียนเป็นar0ซึ่งเท่ากับ "."
ตรวจสอบสิ่งนี้โดยคำนวณเทอมที่ 4 ในชุดตัวอย่าง
x_4 = (1) × 2^3 = 8
การคำนวณผลรวมของลำดับเรขาคณิต
หากคุณต้องการรวมลำดับไดเวอร์เจนต์ ซึ่งเป็นลำดับที่มีการปันส่วนร่วมมากกว่า 1 หรือน้อยกว่า -1 คุณสามารถทำได้โดยมีจำนวนพจน์จำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะคำนวณผลรวมของลำดับการบรรจบกันอนันต์ ซึ่งเป็นลำดับที่มีอัตราส่วนร่วมระหว่าง 1 ถึง − 1
ในการพัฒนาสูตรผลรวมเรขาคณิต ให้เริ่มโดยพิจารณาว่าคุณกำลังทำอะไรอยู่ คุณกำลังมองหาชุดเพิ่มเติมต่อไปนี้:
a + ar + ar^2 + ar^3 +.. + ar^{(n-1)}
แต่ละเทอมในชุดคือark, และkไปจาก 0 ถึงน− 1. สูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมนี้ใช้เครื่องหมายซิกม่าตัวพิมพ์ใหญ่ – ∑ – ซึ่งหมายถึงการเพิ่มคำศัพท์ทั้งหมดจากk= 0) ถึง (k = น − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ ให้พิจารณาผลรวมของ 4 เทอมแรกของอนุกรมเรขาคณิตโดยเริ่มต้นที่ 1 และมีตัวประกอบร่วมเท่ากับ 2 ในสูตรข้างต้น = 1, r= 2 และน= 4. เมื่อเสียบค่าเหล่านี้ คุณจะได้รับ:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการเพิ่มตัวเลขในชุดข้อมูลด้วยตนเอง ที่จริงแล้ว เมื่อคุณต้องการผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต การเพิ่มตัวเลขด้วยตัวเองมักจะง่ายกว่าเมื่อมีคำศัพท์เพียงไม่กี่คำเท่านั้น หากชุดข้อมูลมีคำศัพท์จำนวนมาก การใช้สูตรผลรวมทางเรขาคณิตจะง่ายกว่ามาก